Artin 對映

取 為一個 數域， 為一個 阿貝爾擴張，然後形成一個素除子 ，該素除子被擴張 的所有分歧素數整除。現在定義一個從與 互素的分式理想到 的 伽羅瓦群 的對映，該對映將一個理想 傳送到 。這個對映被稱為 Artin 對映。它的重要性在於核，Artin 互反律 指出該核包含所有僅由在擴張 中完全分裂的素陣列成的分式理想。

這就是它成為互反律的原因。現在可以計算素數的慣性次數，因為最小的指數 ，使得 屬於這個核（這正是慣性次數），現在已知。現在因為 是未分歧的，並且 是伽羅瓦擴張，，其中 是慣性次數， 是 擴充套件到 時分裂成的因子的數量。因此，完全已知 在擴充套件到 時的行為。

這與二次互反律完全類似，因為它也確定了未分歧的素數 何時分裂（，）或何時是惰性的（，）。當然，二次互反律要簡單得多，因為在這種情況下只有兩種可能性。

在 希爾伯特類域 的特殊情況下，這個核與擴張的普通類群重合。