阿貝爾擴張

如果 是 代數 伽羅瓦擴張域 使得擴張的 伽羅瓦群 是 阿貝爾群，那麼 被稱為 的阿貝爾擴張。

例如，

是新增平方根 2 的有理數域，是 的二次擴張。它的 伽羅瓦群 有兩個元素，非平凡元素將 傳送到 ，並且是阿貝爾群。相比之下，六次擴張

是 的 分裂域，並且不是 的阿貝爾擴張。實際上， 的六個自同構，固定 ，由 的三個根的排列定義。因此，在這種情況下，伽羅瓦群 是三個字母的 對稱群，它是 非阿貝爾群。

在作為多項式 的 分裂域 的阿貝爾擴張中， 的根是相關的。例如，考慮一個 分圓域，，其中 是一個 本原單位根 並且 是一個 素數。那麼伽羅瓦群是 迴圈群 的乘法群。

數論中的一個經典定理指出，有理數的阿貝爾擴張必須是 分圓域 的一個 子域。阿貝爾擴張在某種意義上是最簡單的擴張型別，因為阿貝爾群比更一般的群更容易理解。阿貝爾擴張 的一個好的性質是，對於 域 的任何中間子域 ，其中 ，必須是 的 伽羅瓦擴張域，並且根據 伽羅瓦理論基本定理，也是阿貝爾擴張，