擴張域

稱一個域 是域 的擴張域（或域擴張，或擴張），記為 ，如果 是 的一個子域。例如，複數是實數的擴張域，而實數是有理數的擴張域。

擴張域 的擴張域的次數（或相對次數，或指標），記為 ，是 作為 上的向量空間的維數，即

(1)

給定一個域 ，有幾種方法來定義擴張域。如果 包含在一個更大的域 中。然後透過選取一些不在 中的元素 ，定義 為包含 和 的 的最小子域。例如，有理數可以透過複數 擴充套件，得到 。如果只有一個新元素，則該擴張稱為單擴張。新增新元素的過程稱為“新增”。

由於元素可以以任何順序新增，因此只需理解單擴張即可。因為 包含在一個更大的域中，所以它的代數運算，例如乘法和加法，是用 中的元素定義的。因此，

(2)

上面的表示式表明多項式 很重要。事實上，有兩種可能性。

1. 對於某個正整數 ， 次冪 可以寫成（有限）線性組合

(3)

其中 ，是 的小於 的冪。在這種情況下， 稱為 上的代數數， 是一個代數擴張。擴張的擴張域的次數是滿足上述條件的最小整數 ，多項式 稱為擴張域的最小多項式。

2. 否則，不存在像第一種情況那樣的整數 。那麼 是 上的超越數， 是超越擴張，其超越次數為 1。

請注意，在代數擴張的情況下（上述情況 1），擴張域可以寫成

(4)

與上面的類似表示式不同，環 是否為域 並非顯而易見的。以下論證展示瞭如何在這個環中進行除法。由於沒有次數小於 的多項式 可以整除擴張域的最小多項式 ，因此任何這樣的多項式 都是互質的。也就是說，存在多項式 和 使得 ，或者更確切地說，

(5)

並且 是 的乘法逆元。

定義擴張的另一種方法是使用不定變數 。那麼 是以 為係數的單變數有理函式集，並且直到同構，它是超越次數為 1 的唯一超越擴張。多項式 是有理函式的分母和分子。給定一個在 上不可約的非常數多項式 ，商環 是模 p 的多項式。特別地，如上述情況 1， 由 生成，其中 是 的次數。分式域 ，寫作 ，是 的代數擴張，它與 透過 的一個根的擴張同構。例如，。因此，如果 和 是不可約多項式 的不同根，則 。當 時，這種同構反映了域自同構，它是構成伽羅瓦群的域的對稱性之一。

數域是有理數的有限代數擴張。數學家們數百年來一直使用數域來求解諸如 這樣的方程，其中所有變數都是整數，因為他們試圖在擴張 中分解方程。例如，很容易看出 的唯一整數解是 ，因為有四種方法將 5 寫成整數的乘積。

(6)

因此，理解數域中的素數是什麼變得必要。事實上，這導致了一些混亂，因為唯一分解並不總是成立。唯一分解的缺失由類群和類數來衡量。

可以證明，任何數域都可以寫成 ，對於某個 ，也就是說，每個數域都是有理數的單擴張。當然， 的選擇不是唯一的，例如，。