擴域的極小多項式

給定一個域 和一個擴域 ，如果 是 上的一個代數元素，則 在 上的極小多項式是唯一的首一不可約多項式 使得 。它是 理想 的生成元

屬於 。

任何 的首一不可約多項式 在某個擴域 中都有一個根 ，因此它是 的極小多項式。這源於以下構造。商環 是一個域，因為 是一個極大理想，而且 包含 。那麼 是 的極小多項式，剩餘類 為 在 中。

，這也是透過將 新增到 獲得的單擴域。因此，在這種情況下，，並且擴域與擴環一致。

一般而言，如果 是 的任何擴域的任何其他代數元素，且具有相同的極小多項式 ，則 仍然成立，並且該域與 同構。