不可約多項式

如果一個多項式不能在同一個域上分解成非平凡多項式的乘積，則稱該多項式是不可約的。

例如，在有理係數多項式 的域中（即，係數為有理數的 多項式）， 被稱為不可約的，如果不存在兩個非常數多項式 和 在 中，且係數為有理數，使得

（Nagell 1951, p. 160）。類似地，在有限域 GF(2) 中， 是不可約的，但 不是，因為 (mod 2)。

不可約多項式檢查在 Wolfram 語言 中實現為IrreduciblePolynomialQ[poly].

一般來說， 次不可約多項式在有限域 GF() 上的數量由下式給出：

其中 是莫比烏斯函式。

GF(2) 上 次不可約多項式的數量等於 珠子固定非週期性雙色項鍊的數量和長度為 的二進位制 Lyndon 詞的數量。前幾個不可約多項式（mod 2）的數量，對於 , 2, ... 分別是 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, ... （OEIS A001037）。下表列出了 1 到 5 次的不可約多項式（mod 2）。

	不可約多項式
1	,
2
3	,
4	, ,
5	, , , , ,

在有限域 GF(2) 上， 次不可約多項式的可能的多項式階數，按升序排列如下：1; 3; 7; 5, 15; 31; 9, 21, 63; 127; 17, 51, 85, 255; 73, 511; ... （OEIS A059912）。