有限域是一個具有有限域序（即，元素數量）的域，也稱為伽羅瓦域。有限域的階總是素數或素數的冪（Birkhoff 和 Mac Lane 1996）。對於每個素數冪，都存在恰好一個（通常的警告是“恰好一個”意味著“直到同構為止恰好一個”）有限域 GF(
)，在當前用法中通常寫作 
。
GF(
) 稱為階為 
的素域，並且是模 
的剩餘類的域，其中 
個元素表示為 0, 1, ..., 
。GF(
) 中的 
與 
具有相同的含義。但是請注意，在模 4 的環中，
，因此 2 沒有倒數，並且模 4 的環與具有四個元素的有限域不同。因此，為了清晰起見，有限域表示為 GF(
)，而不是 GF(
)，其中 
。
有限域 GF(2) 由元素 0 和 1 組成，它們滿足以下加法和乘法表。
 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
如果有限域 
的元素子集 
使用與 
相同的運算子滿足上述公理，則 
稱為子域。有限域廣泛用於糾錯碼的研究。
當 
時，GF(
) 可以表示為多項式的等價類的域，這些多項式的係數屬於 GF(
)。任何不可約多項式的次數 
都會產生相同的域，直到同構為止。例如，對於 GF(
)，模數可以取為 
或 
。使用模數 
，GF(
) 的元素（寫為 0，
，
，...）可以表示為次數小於 3 的多項式。例如，
 |  |  |
(1)
|
 |  |  |
(2)
|
 |  |  |
(3)
|
 |  |  |
(4)
|
 |  |  |
(5)
|
現在考慮下表，其中包含有限域元素的幾種不同表示形式。列分別是冪、多項式表示、多項式表示的係數三元組（向量表示）以及對應於向量表示的二進位制整數（常規表示）。
| 冪 | 多項式 | 向量 | 常規 |
| 0 | 0 | (000) | 0 |
 | 1 | (001) | 1 |
 |  | (010) | 2 |
 |  | (100) | 4 |
 |  | (011) | 3 |
 |  | (110) | 6 |
 |  | (111) | 7 |
 |  | (101) | 5 |
第二列中多項式的集合在模 
的加法和乘法下是封閉的，並且集合上的這些運算滿足有限域的公理。這個特定的有限域被稱為 GF(2) 的 3 次擴充套件域，寫作 GF(
)，並且域 GF(2) 稱為 GF(
) 的基域。如果不可約多項式以這種方式生成所有元素，則它稱為本原多項式。對於任何素數或素數冪 
和任何正整數 
，都存在次數為 
的 GF(
) 上的本原不可約多項式。
對於 GF(
) 的任何元素 
，
，並且對於 GF(
) 的任何非零元素 
，
。存在一個最小的正整數 
，滿足對於 GF(
) 中的某個元素 
的和條件 
。這個數字稱為有限域 GF(
) 的域特徵。 域特徵是每個有限域的素數，並且以下是成立的
 |
(6)
|
在特徵為 
的有限域上。
