代數數最小多項式

代數數 的最小多項式是唯一不可約的首一多項式，具有最小的次數 ，其有理係數使得 ，並且其首項係數為 1。最小多項式可以使用以下方法計算MinimalPolynomial[zeta, var] 在 Wolfram 語言 包中AlgebraicNumberFields` .

例如， 的最小多項式是 。一般來說， 的最小多項式，其中 且 是素數，是 ，根據 艾森斯坦判別法，它是不可約的。每個本原 次單位根的最小多項式是 分圓多項式 。例如， 是以下項的最小多項式

一般來說，兩個代數數如果是複共軛的，則它們具有相同的最小多項式。

考慮 擴域 作為有理數 域 上的有限維 向量空間，則乘以 會在 上誘導一個 線性變換 。矩陣最小多項式 ，作為一個線性變換，與 作為代數數的最小多項式相同。

最小多項式可以整除任何其他具有有理係數 的多項式，使得 。由此可見，在所有具有此屬性的多項式 中，它的次數是最小的。它的次數等於擴域 在 上的次數。