矩陣最小多項式

矩陣 的最小多項式是首一多項式，在 中具有最小次數 ，使得

(1)

最小多項式可以整除任何滿足 且 的多項式 ，特別地，它可以整除特徵多項式。

如果特徵多項式分解為

(2)

那麼它的最小多項式由下式給出

(3)

對於某些正整數 ，其中 滿足 。

例如，特徵多項式 零矩陣 是 ，而其最小多項式是 。然而，以下矩陣的特徵多項式和最小多項式都是

(4)

均為 。

以下 Wolfram 語言程式碼將找到變數 中方陣 的最小多項式。

  MatrixMinimalPolynomial[a_List?MatrixQ,x_]:=Module[
    {
      i,
      n=1,
      qu={},
      mnm={Flatten[IdentityMatrix[Length[a]]]}
    },
    While[Length[qu]==0,
      AppendTo[mnm,Flatten[MatrixPower[a,n]]];
      qu=NullSpace[Transpose[mnm]];
      n++
    ];
    First[qu].Table[x^i,{i,0,n-1}]
  ]