有理規範型

任何 方陣 都有一個規範形式，而無需擴充套件其 係數域。 例如，如果 的條目是 有理數，那麼其有理規範形式的條目也是有理數。（約旦規範形式 可能需要複數。） 存在一個 非奇異矩陣 使得

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稱為有理規範型，其中 是 伴隨矩陣，用於 首一多項式

(2)

多項式 稱為 的“不變因子”，並且滿足 ，對於 , ..., (Hartwig 1996)。多項式 是 矩陣最小多項式，乘積 是 特徵多項式 的特徵多項式。

有理規範型是唯一的，並顯示了最小多項式表徵矩陣的程度。 例如，只有一個 矩陣的 矩陣最小多項式 是 ，即

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以有理規範型表示。

給定一個 線性變換 ，向量空間 變成一個 -模，即 模 在 環 上，該環是由 域 中係數多項式構成的環。 向量空間 確定了域 ，它可以被視為包含 矩陣條目的最大域。 多項式 透過 作用於向量 。 有理規範型對應於將 寫成

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其中 是由 不變因子 在 中生成的 理想，這是任何在 主環 （如 ）上有限生成模的規範形式。

更具建設性地，給定 的基 ，存在一個 模同態

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這是一個 滿射，由下式給出

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令 為 模核，

(7)

為了構造有理規範型的基，有必要將 寫成

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這是透過找到 和 的適當基來完成的。 這樣的基是透過確定矩陣 和 來找到的，它們是可逆的 矩陣，其條目在 中（並且其逆也在 中），使得

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其中 是 單位矩陣， 表示 對角矩陣。 它們可以透過使用 初等行和列運算找到。

上述矩陣將 的基（寫成 元組）使用 的新基 轉換為 元組，並且 給出了從原始基到具有 的基的線性變換。 特別是，

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其中 是 中的任意多項式。 設定 ,

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特別地， 是 子空間 ，它由 生成，其中 是 的度。 因此，將 放入有理規範形式的基由下式給出

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