理想

理想是在環中元素的子集，它構成一個加法群，並具有以下性質：每當屬於，且屬於時，則和屬於。例如，偶數整數的集合是整數環中的一個理想。給定一個理想，可以定義一個商環。理想通常使用哥特字體表示。

有限生成理想是由有限列表、、...、生成的，並且包含所有形如的元素，其中係數是環的任意元素。生成器的列表不是唯一的，例如整數中的。

在數環中，理想可以表示為格，並且可以給出代數整數的有限基，這些基加法地生成理想。同一個格的任意兩個基是等價的。理想有乘法運算，這基本上是兩個基的克羅內克積。上面的圖示顯示了高斯整數中由2和生成的理想，其中理想的元素用紅色表示。

從代數幾何的角度來看，理想對應於簇。

對於任何理想，都存在一個理想，使得

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其中是一個主理想（即，秩為 1 的理想）。此外，存在一個有限的理想列表，使得對於每個，此方程都可能成立。此列表的大小稱為類數。實際上，上述關係在理想上施加了一個等價關係，而模此關係的理想數就是類數。當類數為 1 時，相應的數環具有唯一分解性，並且在某種意義上，類數是原始數環中唯一分解失敗程度的度量。

1871 年，戴德金證明了域的整數域中的每個非零理想都是素理想的唯一乘積，實際上，的所有理想都具有這種形式，因此都是主理想。

理想可以相加、相乘和相交。理想的並通常不是理想，因為它可能不滿足加法封閉性。從代數幾何的角度來看，理想的加法對應於簇的交集，而理想的交集對應於簇的並集。此外，理想的乘法對應於簇的並集。

交集和乘法是不同的，例如考慮在中的理想。那麼

(2)

有時它們是相同的。如果，那麼

(3)

還有除法的類似物，理想商，以及根的類似物，也稱為理想根。給定一個環同態，中的理想擴張到中的理想，而中的理想收縮到中的理想。

以下公式總結了理想的運算，其中表示收縮，表示理想擴張，而表示理想商

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如果是一個代數，的左（右）理想是的子空間，使得當 且時，有。雙邊理想是的子集，它既是左理想又是右理想。對於每個代數和元素，集合和分別是左理想和右理想的例子，而是雙邊理想的例子。