素理想

素理想是一個理想 使得如果 ，則 或 至少有一個成立。 例如，在整數中，理想 （即 的倍數）在 是素數時是素理想。

在任何主理想整環中，素理想由素元素生成。素理想將素性的概念推廣到更一般的交換環。

一個理想 是素理想當且僅當商環 是一個整環，因為 當且僅當 。 從技術上講，一些作者選擇不允許平凡環 作為交換環，在這種情況下，他們通常要求素理想是真理想。

極大理想總是素理想，但有些素理想不是極大理想。 在整數中， 是一個素理想，就像在任何整環中一樣。 請注意，這是整數中所有素理想都由素數生成的說法的例外。 雖然允許這種情況可能看起來很傻，但在某些環中，素理想的結構，即 Zariski 拓撲，更有趣。 例如，在具有復係數的兩個變數的多項式 中，理想

都是素理想。

定義的後果之一是不在素理想中的元素集合 在乘法下是封閉的。 這允許人們透過考慮分式環在 處進行區域性化。 這個環類似於有理數作為整數分數的構造，除了分母必須在 中。 這個環中唯一的極大理想是 的理想擴張。

從代數幾何的角度來看，理想對應於簇。 因為乘法對應於並集（例如 意味著 或 ），素理想對應於不可約簇。