區域性化

環和模上的運算。給定一個交換么環 ，以及 的一個子集 ， 在乘法下封閉，且 在 中， 不在 中，則 在 處的區域性化是環

(1)

其中形式分式 的加法和乘法根據自然規則定義，

(2)

且

(3)

環 透過等同 是 的子環。

對於一個 -模 ， 在 處的區域性化定義為張量積 張量積 ，即，作為基本張量的線性組合的集合

(4)

也簡記為 。

子集 所需的性質由以下情況滿足：

1. 的非零除數集合；在這種情況下， 是 的分式環。

2. 的任何素理想 的補集 ：在這種情況下，笨拙的符號 被 替代。這個環稱為 在 處的區域性化，它是一個區域性環，極大理想為 。

賦予此運算的名稱源於當應用於與代數簇相關的環時，它所具有的幾何意義。

實笛卡爾平面座標軸的並集 是由方程給出的代數簇

(5)

且與商環 商環 相關聯。 在由 的剩餘 和 的剩餘 生成的極大理想處的區域性化，記為 ，描述了原點處的 ；其代數性質為區域性幾何性質提供線索。例如，區域性化環是非正則的，因為其 Krull 維數為 1，而生成其極大理想 需要兩個元素。這是原點是 的奇點（一個結點）的代數對應物。對於 -軸的所有其他點 ，()，區域性化環 是維數為 1 的正則環，因為 生成了整個極大理想 ：由於 ，因此有 。相同的論證適用於 -軸。由此可見，在原點之外，簇 在“光滑”或“非奇異”的幾何意義上是正則的。