加法群

加法群是指運算稱為加法並用 表示的群。在加法群中，單位元 稱為零，元素 的逆元表示為 (負 )。符號和術語借用自數的加法群：整數環 、有理數域 、實數域 和複數域 都是加法群。

一般來說，每個 環 和每個 域 都是加法群。一類重要的例子是由係數在 環 中的 多項式環 給出的。在 的加法群中，和是透過將相等項的係數相加來執行的，

模、抽象向量空間 和 代數 都是加法群。

向量空間 的向量的和是按分量定義的，

因此， 矩陣的和也是如此，矩陣的項在環 中，

這是矩陣集合 的 -模結構的一部分。

阿貝爾加法群 的任何 商群 也是關於陪集誘導加法的加法群，定義為

對於所有 。

以上所有例子以及 (其中 , 3, ...) 都是這種情況，其中

這是 和 的剩餘類的和，有時表示為 和 。這些也是迴圈加法群的例子； 由元素 生成，這意味著

在任何加法群 中，對於每個整數 ，都可以考慮每個元素 的整數倍數，

這種與整數的乘法使得 成為 -模，當且僅當 是 阿貝爾群 時。

在抽象定義的群中，當運算是 交換的 時，加法符號是首選。對於對映群，通常情況並非如此；在那裡，複合通常被視為乘法。一個自然的例外是 維 歐幾里得空間 的 平移 群。如果 和 是由 的向量 和 確定的平移，則

這意味著複合等同於平移向量的和。歐幾里得空間 的平移群因此可以等同於 的向量的加法群。