抽象向量空間

維度為 且基於域 field 的抽象向量空間是所有形式表示式的集合

(1)

其中 是給定的一組 物件（稱為基），而 是 元素的任意 -元組。 透過求和它們的係數，可以將兩個這樣的表示式加在一起，

(2)

此加法是交換群運算，因為零元素是 而 的逆元是 。 此外，有一種自然的方法可以定義任何元素 與 的任意元素（所謂的標量） 的乘積，

(3)

請注意，乘以 1 不會改變元素。

此結構是對通常向量空間 的形式化推廣，其中標量域是實數域 ，並且基由 給出。 與此特殊情況一樣，在任何抽象向量空間 中，標量乘法都滿足以下兩個分配律

1. 對於所有 和所有 ，。

2. 對於所有 和所有 ，。

這些是任何交換加法群中整數倍數的基本性質。 乘積相對於和的這種特殊行為定義了線性結構的概念，該概念最早由 Peano 於 1888 年提出。

線性性特別意味著， 和 的零元素 和 使任何乘積都變為零。 從 (1) 可以得出

(4)

對於所有 ，而從 (2) 可以得出

(5)

對於所有 。

如果承認基具有無限多個元素，則可以獲得更一般的抽象向量空間。 在這種情況下，向量空間被稱為無限維的，其元素是形式表示式，其中除有限數量的係數外，所有係數都等於零。