自由模

秩為 在非零 單位環 上的自由模，通常表示為 ，是所有序列 的集合，這些序列可以透過選取 個（不必互異的）元素 , , ..., 在 中形成。集合 是被稱為模的代數結構的特定示例，因為它滿足以下屬性。

1. 它是關於序列的分量式加法的加法 阿貝爾群，

(1)

2. 可以將任何序列與 的任何元素相乘，根據規則

(2)

並且此乘積滿足結合律和分配律。

術語自由模擴充套件到所有與 同構的模，即，本質上具有與 相同的結構的模。請注意，並非所有模都是自由的。例如，商環 ，其中 是大於 1 的整數，則不是自由的，因為它是一個具有 個元素的 -模，因此它不能與任何模 同構，後者都是無限集。因此，作為 -模，它不是自由的，當然，作為其自身的模，它是自由的。

秩為 的自由模可以在環 上從任何抽象集合 構造，只需取 的元素的所有形式線性組合，係數在 中

(3)

並定義以下加法

(4)

和乘法

(5)

由此獲得的模通常用 表示。它由 生成，它們是獨立的客體：這解釋了為什麼它應該被稱為自由的。在 是域的特殊情況下， 是一個抽象向量空間，其集合 作為基。

自由模在代數學中起著核心作用，因為任何模都是某個自由模的同態像：給定一個由其子集 生成的模 ，由 定義的對映顯然是從 到 的滿射模同態。

(6)

其中除了有限多個之外的所有係數 都等於零。模 然後與模直和同構

(7)

請注意，如果 是一個具有 個元素的有限集，則此模恰好是 。