模直和

模 和 的直和是模

(1)

其中所有代數運算都是逐分量定義的。特別地，假設 和 是左 -模，那麼

(2)

和

(3)

其中 是環 ring 的一個元素。任意多個在同一個環上的 modules 的直和也被定義。如果 是模族的索引集，那麼直和由從 到所有這些 modules 的並集，具有有限支撐的函式集合表示，使得函式將 對映到由 索引的 module 中的一個元素。

直和的維數是被加項的維數之和。直和的重要性質是它是 category of modules 中的 coproduct。這個一般定義作為結果給出了 Abelian groups 和 (因為它們是 -modules，即在 integers 上的 modules) 的直和 以及 vector spaces 的直和 (因為它們是在 field 上的 modules)。注意，Abelian groups 的直和與 group direct product 相同，但術語“直和”不用於 non-Abelian 的群。

每當 是一個 module，帶有 module homomorphisms 和 ，那麼存在一個 module homomorphism ，由 給出。請注意，此對映是明確定義的，因為模中的加法是可交換的。當強調上積性質時，有時直和優於直積。