一個範疇由三部分組成：物件的集合，對於每對物件，態射（有時稱為“箭頭”）的集合，以及定義在相容態射對上的二元運算，稱為複合。範疇必須滿足單位元公理和結合律公理，這類似於么半群公理。
態射必須遵守以下定律
1. 如果 
是從 
到 
的態射（簡寫為 
），並且 
，則存在一個從 
到 
的態射 
（通常讀作 “
與 
的複合”）。
2. 態射的複合（如果已定義）是結合的，因此如果 
，
，並且 
，則 
。
3. 對於每個物件 a，存在一個單位態射 
，使得對於任何 
，
且 
。
在大多數基於集合的具體範疇中，物件是某種數學結構（例如，群、向量空間或光滑流形），而態射是兩個物件之間的對映。任何物件與其自身的恆等對映就是單位態射，而態射的複合只是函式複合。
通常要求態射保持物件的數學結構。因此，如果物件都是群，那麼態射的一個好的選擇將是群同態。類似地，對於向量空間，可以選擇線性對映，對於可微流形，可以選擇可微對映。
在拓撲空間範疇中，態射通常是拓撲空間之間的連續對映。然而，也存在其他以拓撲空間為物件的範疇結構，但它們遠不如拓撲空間和連續對映的“標準”範疇重要。
