阿貝爾範疇

阿貝爾範疇是一個範疇，其中可以使用同調代數的構造和技術。這類範疇的基本例子是阿貝爾群的範疇，更一般地說是環上的模的範疇。阿貝爾範疇廣泛應用於代數、代數幾何和拓撲學。

在模範疇中發現的許多相同構造，例如核、正合序列和交換圖，在阿貝爾範疇中也可用。必須克服的一個缺點是，範疇中的物件不一定具有可以直接操作的元素，因此傳統定義不起作用。因此，必須開發允許在不使用元素的情況下定義和操作物件的方法。

例如，考慮態射的核的定義，其中規定給定，的核定義為一個態射，使得所有態射使得，都透過分解。請注意，此定義不保證核的存在，而只是給出如果核存在則唯一標識它的屬性。必須完成類似的工作來定義態射的上核。

有了這些定義，如果一個範疇滿足以下五個屬性，則可以將其定義為阿貝爾範疇

1. 對於兩個物件和，從到的態射集合具有阿貝爾群的結構。必須安排此群結構，以使態射的複合是雙線性的。

2. 存在一個物件，記為 0，它既是始物件又是終物件。

3. 有限物件集合的積和上積始終存在。

4. 核和上核始終存在。

5. 如果是一個核為 0 的態射，則是其上核的核。如果是一個上核為 0 的態射，則是其核的上核。

僅滿足前三個屬性的範疇稱為加法範疇。

阿貝爾範疇的例子包括

1. 對於交換環，模在上的範疇是一個阿貝爾範疇。這是基本示例。

2. 固定拓撲空間上的向量叢的範疇是一個阿貝爾範疇。

3. 拓撲空間上的層的範疇是一個阿貝爾範疇。

弗雷德定理指出，每個阿貝爾範疇都是某個環上的模的範疇的子範疇。 Mitchell (1964) 加強了這一點，稱每個阿貝爾範疇都是環上模範疇的完全子範疇。儘管有這個結果，阿貝爾範疇的術語和方法仍然有用且強大。