向量叢

向量叢是 纖維叢 的一個特殊類別，其中 纖維 是一個 向量空間 。從技術上講，還需要更多條件；即，如果 是一個 叢，其 纖維 為 ，要成為向量叢，對於 的所有 纖維 都需要具有一致的 向量空間 結構。 一種表達方式是，“平凡化” 是 纖維 到 纖維 的 向量空間 同構。

向量叢是一個 全空間 ，以及到基流形 的 滿射 對映 。 任何 纖維 都 同構於 的 向量空間。

最簡單的非平凡向量叢是圓上的 線叢，它類似於 莫比烏斯帶。

向量叢的一個用途是 向量函式 的推廣。 例如， 維流形的切向量在 座標圖 中的點 處與 同構。 但是與 的同構取決於 座標圖 的選擇。 在 附近，向量場看起來像函式。 為了在整個流形上定義向量場，需要 切叢，它是向量叢的一個特例。

向量叢 的 叢截面 是一個對映 ，其投影 是 上的恆等對映。 例如，在 平凡叢 上，截面 對應於函式 ，透過 。

在向量叢中的每個點附近，都有一個 平凡化。 與所有 叢 一樣，向量叢的結構是 區域性 平凡 的。 在向量叢的情況下，平凡化之間的 轉移函式 取值於纖維的線性可逆變換。

由於 中的零元素被任何線性變換固定，因此零截面始終存在。 “非平凡截面”是指它不是零截面。

有幾個形容詞可以指定向量叢的屬性。 復向量叢 具有作為 復向量空間 的纖維 。 實向量叢 具有作為實 向量空間 的纖維，這是預設型別的向量叢。 線叢 具有一維纖維。

連續向量叢 是具有 連續 投影對映 的流形 。 光滑向量叢 是具有光滑投影 的光滑流形 。 最後，全純向量叢 是具有 全純 投影 的 複流形 。 在最後一種情況下，纖維必須是復向量空間。 因此，可能存在光滑復向量叢，但不存在全純實向量叢。

向量叢可以在其纖維上具有度量，無論是 黎曼 度量還是 埃爾米特 度量，以及 向量叢聯絡。