纖維叢

一個纖維叢（也簡稱為叢），其纖維為 是一個對映 ，其中 稱為纖維叢的全空間，而 稱為纖維叢的底空間。成為纖維叢的主要條件是，底空間 中的每個點都有一個鄰域 ，使得 與 以一種特殊的方式同胚。具體來說，如果

是同胚，則

其中對映 表示到 分量的投影。 “與投影交換”的同胚 稱為纖維叢 的區域性平凡化。換句話說， 看起來像乘積 （至少在區域性上），只是纖維 對於 可能會有點“扭曲”。

纖維叢是最通用的叢型別。特殊情況通常透過將“纖維”一詞替換為描述所用纖維的詞來描述，例如，向量叢和主叢。

纖維叢的例子包括任何乘積 （這是一個在 上的叢，其纖維為 ），莫比烏斯帶（這是一個在圓上的纖維叢，其纖維由單位區間 [0,1] 給出；即底空間是圓），以及 （這是一個在 上的叢，其纖維為 ）。纖維叢的一個特殊類別是向量叢，其中纖維是一個向量空間。

函式 的圖的一些性質可以推廣到纖維叢。這種函式的圖位於 中，形式為 。圖總是投影到底 上，並且是一對一的。

纖維叢 是一個全空間，並且像 一樣，它有一個投影 。原像 ，對於任何點 ，都與 同構。與 不同，從 到 沒有規範投影。相反，到 的對映僅在 上區域性有意義。在底 中任何點 附近， 存在平凡化，其中存在從鄰域到 的實際函式。

這些區域性函式有時可以拼湊在一起，以給出 (全域性) 截面 ，使得 的投影是恆等對映。這類似於從函式 的域 到其在 中的圖的對映，由 給出。

纖維叢還帶有纖維上的群作用。這種群作用表示纖維可以被視為等價的不同方式。例如，在拓撲學中，群可能是纖維的同胚群。向量叢上的群是可逆線性對映群，這反映了使用不同向量基的向量空間的等價描述。

纖維叢並不總是用於推廣函式。有時，它們是對有趣的流形的便捷描述。幾何拓撲中的一個常見例子是圓上的環面叢。