主叢

主叢是纖維叢的一個特例，其中纖維是一個群 。更具體地說， 通常是一個李群。主叢是一個全空間 以及一個到底流形 的滿射 。任何纖維 是一個與 同構的空間。更具體地說， 在纖維上自由地作用而沒有不動點，這使得纖維成為一個齊性空間。例如，在圓叢的情況下（即，當 時），纖維是圓，可以旋轉，儘管沒有特定的點對應於單位元。在每個點附近，可以透過選擇每個纖維中的一個元素作為單位元，在 的鄰域之上的纖維中賦予 的群結構。然而，除非在平凡叢的情況下，否則纖維不能被賦予全域性群結構。

一個重要的主叢是標架叢，在黎曼流形上。這個叢反映了為切向量提供標準正交基的不同方式。

考慮球面上所有的單位切向量。這是一個在球面上的主叢 ，其纖維是圓 。每個切向量都投影到其在 中的基點，給出對映 。在 中的每個點之上，都有一個單位切向量的圓。沒有特定的向量被挑選出來作為單位元，但是旋轉群 在纖維上自由地作用而沒有不動點。

以類似的方式，任何纖維叢都對應於一個主叢，其中（主叢的）群是（纖維叢的）纖維的同構群。給定一個主叢 和 在空間 上的作用（可能是一個群表示），這可以反過來給出相伴纖維叢。

主叢的平凡化， 中的開集 ，使得在 之上的叢，，可以表示為 ，具有群 從左側作用的性質。也就是說， 透過 作用於 。追溯這些定義，不難看出轉移函式的值在 中，透過右乘作用於纖維。這樣， 在纖維上的作用與座標圖無關。