李群

李群是一個服從群性質並滿足群運算可微性的光滑流形。

此定義與希爾伯特問題的第五個問題相關，該問題詢問是否可以避免對定義連續變換群的函式的可微性假設。

李群最簡單的例子是一維的。在加法下，實數線是一個李群。在選擇一個特定的點作為單位元後，圓也是一個李群。圓上與單位元的角度為的另一個點，透過將圓旋轉角度來作用。一般來說，李群可能具有更復雜的群結構，例如正交群 （即，正交矩陣），或一般線性群 （即，可逆矩陣）。洛倫茲群也是一個李群。

李群單位元處的切空間始終具有李代數的結構，並且這個李代數透過指數對映確定李群的區域性結構。例如，函式給出了從圓的切空間（即實數）到圓的指數對映，圓被認為是中的單位圓。一個更困難的例子是從反對稱 矩陣到特殊正交群 的指數對映，特殊正交群是的行列式為 1 的子集。

李群的拓撲結構相當受限。例如，總是存在非零向量場。這種結構使得有限維半單李群及其表示的完整分類成為可能。