反對稱矩陣

反對稱矩陣，也稱為斜對稱或反度量矩陣，是一個方陣，它滿足以下恆等式

其中 是矩陣的轉置。 例如，

是反對稱的。

可以使用 Wolfram 語言測試矩陣 是否為反對稱矩陣，使用AntisymmetricMatrixQ[m]。

在分量表示法中，這變為

令 ，要求變為

因此，反對稱矩陣的對角線上必須為零。 一般的 反對稱矩陣是以下形式

對反對稱條件的兩邊應用 得到

任何方陣都可以表示為對稱和反對稱部分之和。 寫成

但是

所以

這是對稱的，並且

這是反對稱的。

所有奇數維的 反對稱矩陣都是奇異的。 這源於以下事實：

因此，根據行列式的性質，

因此，如果 是奇數，則

因此證明了所有奇數維的反對稱矩陣都是奇異的。

反對稱矩陣的集合表示為 。 是一個向量空間，並且兩個反對稱矩陣的交換子

是反對稱的。 因此，反對稱矩陣是李代數，它與正交矩陣的李群相關。 特別地，假設 是透過 的正交矩陣路徑，即對於所有 。 兩邊的 導數 在 處必須相等，因此 。 也就是說， 在單位矩陣處的導數必須是反對稱矩陣。

反對稱矩陣的指數對映是一個正交矩陣。