正交矩陣

一個 矩陣 是一個正交矩陣，如果

(1)

其中 是 轉置 ，並且 是 單位矩陣。 特別地，一個正交矩陣總是可逆的，並且

(2)

以分量形式表示，

(3)

這個關係使得正交矩陣特別容易計算，因為轉置運算比計算逆矩陣簡單得多。

例如，

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是正交矩陣。

可以使用 Wolfram 語言 測試矩陣 是否為正交矩陣，使用OrthogonalMatrixQ[m]。

正交矩陣的行是一個 標準正交基。 也就是說，每一行長度為一，並且相互垂直。 類似地，列也是一個標準正交基。 事實上，給定任何標準正交基，以該基為行的矩陣是一個正交矩陣。 列自動成為另一個標準正交基。

正交矩陣精確地是那些保持 內積 不變的矩陣

(6)

此外，行列式 要麼是 1 要麼是 。 作為 的一個子集，正交矩陣不是 連通的，因為 行列式 是一個 連續函式。 相反，存在兩個 連通分支，分別對應於行列式為 1 或 的情況。 行列式 為 1 的正交矩陣是旋轉矩陣，這樣的矩陣被稱為 特殊正交矩陣。

兩個正交矩陣的 矩陣乘積 仍然是正交矩陣。 此外，正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣，單位矩陣 也是。 因此，正交矩陣的集合構成一個 群，稱為 正交群 。