有幾種常用的方法來定義連續函式的概念，這個概念雖然有些難以捉摸，但卻極其重要（根據上下文，也可能被稱為連續對映）。連續函式的空間表示為 
，並且對應於 
的 C-k 函式 情況。
連續函式可以正式定義為一個函式 
，其中 
中每個開集的原像在 
中是開集。更具體地說，單變數 
中的函式 
在點 
處連續，如果
1. 
已定義，因此 
在 
的定義域中。
2. 
對於 
在 
的定義域中存在。
3. 
,
其中 lim 表示極限。
許多數學家更喜歡透過所謂的極限的 epsilon-delta 定義來定義函式的連續性。在這種形式體系中，當 
接近點 
時，函式 
的極限 
，
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(1)
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被定義為：當給定任何 
，可以找到一個 
，使得對於定義域 
中以及半徑為 
的 
的鄰域內的每個 
（可能 
本身除外），
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(2)
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那麼如果 
在 
中且
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(3)
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被稱為在 
處連續。
如果 
在點 
可微，那麼它在 
也連續。如果兩個函式 
和 
在 
處連續，那麼
1. 
在 
處連續。
2. 
在 
處連續。
3. 
在 
處連續。
4. 
在 
處連續，如果 
。
5. 假設 
在 
處連續，
在 
處連續，其中 
表示 
，即函式 
和 
的複合。
對於兩個變數的函式，連續性的概念稍微複雜一些，如上面函式的圖所示
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(4)
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這個函式在原點處不連續，但在直線 
上極限為 0，在 x軸上極限為 1，在 y軸上極限為 
(Kaplan 1992, p. 83)。
