Epsilon-Delta 定義

Epsilon-delta 定義是一種數學定義，其中關於一個實函式的陳述，例如，形式為“對於鄰域 的 都存在 的 鄰域 使得，只要 , 則 ”被改寫為“對於所有 都存在 使得，只要 , 則 。” 這兩個陳述是極限定義的等價表述 ()。 在第二個表述中，鄰域 被開區間 替換，鄰域 被開區間 替換。 對於 個變數的函式，絕對值將被 的 範數 替換，開區間將分別被開球 和 替換。

這不會影響陳述的含義，因為給定點的每個鄰域都包含以該點為中心的開球。 因此，要求對於任何 , 對於合適的 x 值， 在 中，確保對於合適的 值，對於 的任何鄰域 , 在 中。 根據定義的兩個版本，這些合適的 值是屬於合適鄰域（在第二個版本中是開球）的值。

這兩個陳述都表達了這樣一個事實：對於所有足夠接近 的 , 都儘可能接近所需的 。 在第二種表述中，這個條件完全用數字表示： 和 是衡量“接近程度”的距離。 這有助於證明極限的任務，因為基本公式實際上是透過為每個 構建具有所需屬性的 來展示的。