極限

術語“極限”涉及數學幾個不同分支中的許多主題。

序列 在 拓撲空間 中被稱為具有極限 ，前提是對於 的每個鄰域 ，存在一個自然數 ，使得對於所有 ，。如果 是一個度量空間，則這種非常通用的定義可以被專門化，此時人們說 中的序列 具有極限 ，如果對於所有 ，存在一個自然數 使得

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對於所有 。在許多常見情況下，極限是唯一的，因此人們說 是 的極限，並寫成

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另一方面，來自度量空間 的元素序列可能具有多個 - 甚至無限多個 - 不同的極限，前提是 配備了不為 T2 的拓撲。表示式 (1) 讀作“當 趨近於無窮大時， 的極限是 。”

拓撲收斂的概念可以重寫以適應更廣泛的拓撲空間 ，透過使用 網 的語言。 特別是，如果 是從 有向集 到 的網，則元素 被稱為 的極限，當且僅當對於 的每個鄰域 ， 最終在 中，即，如果存在一個 使得，對於每個 且 ，點 位於 中。這個概念特別適用於非 第一可數 的拓撲空間。

如果對於所有 ，存在一個 使得當 時，，則稱函式 具有有限極限 。這種形式的定義有時被稱為 epsilon-delta 定義。這也可以適用於無限極限的情況：當 趨近於 時， 的極限等於 （或 ），如果對於每個數 （或 ），存在一個取決於 的數 ，使得當 時， （或 ）。可以進行類似的調整來定義函式 在 時的極限。

極限可以從下方取

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或從上方取

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如果兩者相等，則稱“極限”存在

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表示式 (2) 讀作“當 從左側/下方趨近於 時的極限”或“當 增加到 時的極限”，而 (3) 讀作“當 從右側/上方趨近於 時的極限”或“當 減小到 時的極限”。在 (4) 中，人們簡單地指“當 趨近於 時的極限”。

極限在 Wolfram 語言 中實現為極限[f, x-> x0]。此命令還接受選項Direction（可以設定為任何複數方向，包括例如 , ,I, 和-I），以及Analytic，它計算函式的符號極限。

請注意，極限的函式定義可以被認為是序列定義的自然推廣，因為拓撲空間 中的序列 無非是一個函式 ，將 對映到 。

下極限

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被稱為存在，如果對於每個 ，對於無限多個 值， 成立，並且如果沒有任何小於 的數具有此屬性。

上極限

(7)

被稱為存在，如果對於每個 ，對於無限多個 值， 成立，並且如果沒有任何大於 的數具有此屬性。

相關概念包括 上確界極限 和 下確界極限。

不定型 極限形式，如 和 型別，通常可以用 洛必達法則 計算。 型別可以透過寫作轉換為 形式

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型別 、 和 透過引入因變數來處理

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因此

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然後計算 lim 。原始極限等於 ,

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不定型 形式 也經常遇到。

所有上述概念都可以透過使用 超濾子 的語言進一步推廣。特別是，如果 是一個拓撲空間，並且如果 是 上的超濾子，則元素 被稱為 的極限，如果 的每個鄰域都屬於 。一些作者也定義了關於 濾子 的類似概念（Stadler 和 Stadler 2002）。

1996 年 6 月 2 日比爾·阿門德創作的漫畫《FoxTrot》（Amend 1998，第 19 頁；Mitchell 2006/2007）以以下極限問題為特色，這是一個針對補習數學課的“難題”，但意外地發給了普通班級

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