間斷

間斷是指數學物件不連續的點。上面的左圖展示了一個單變數函式的間斷，而右圖展示了一個雙變數函式的間斷，該函式被繪製為 中的曲面。在後一種情況下，間斷是沿著 自然對數 的負 實軸 的 支割線，其中 為複數。

一些作者將函式的不連續性稱為跳躍，儘管這在文獻中很少使用。

儘管定義相同，單變數函式的間斷與多變數函式的間斷有很大不同。這些情況之間的主要區別之一在於對間斷進行分類，這是一個在下面更詳細討論的注意事項。

對於單變數實值函式 的情況，恰好有三種可能發生的間斷型別。

1. 最簡單的型別是所謂的可去間斷點。

2. 單變數函式 也可能具有所謂的跳躍間斷點（不要與上面提到的很少使用的術語跳躍混淆）。這種間斷在代數上比可去間斷點更復雜，但在某種意義上，仍然是一種“不算太糟糕”的間斷。特別是，單變數單調函式最多可以有可數個間斷點 (Royden and Fitzpatrick 2010)，其中最壞的情況可能是跳躍間斷點 (Zakon 2004)。

3. 單變數函式可能擁有的“最壞”的間斷型別是所謂的無窮間斷點。

即使有了這種分類，單變數實值函式的間斷點集也可能比預期的更奇怪。實際上，函式可能在點的有限集、點的可數集（可能是孤立的或稠密的）以及其定義域的不可數真子集上不連續。其他函式，例如狄利克雷函式，則處處不連續。即便如此，函式間斷點集的大小可以說明其解析性質。例如，勒貝格定理指出，定義在有界區間上的有界單變數實值函式是Riemann 可積的，當且僅當它幾乎處處連續 (Royden and Fitzpatrick 2010)；類似地，定義在開區間上的單變數單調實值函式的間斷點集最多是其定義域的可數子集。

然而，對於兩個或多個變數的函式，不可能進行簡單的間斷分類。有許多注意事項阻礙了對多變數函式間斷的任何分類，其中最主要的是多變數函式在間斷點既不需要跳躍也不需要“爆破” (Lady 1998)。更重要的是，多變數函式的間斷可能沿著平面中的整個曲線而不是在單個點上發生。下面顯示了不連續行為的各種示例。

上面的兩個函式在原點都具有無窮間斷點。最左邊的例子是函式 ，它具有以下性質：當 接近 時， 的每個方向極限都趨於 。另一方面，最右邊的函式是

(1)

一個函式，當 時也具有間斷點，並且 的極限不存在。函式 表示透過將函式 繞 軸旋轉獲得的曲面。

上圖中顯示的兩個函式在某些方面類似於上面描述的函式 和 。更準確地說，左側的函式 沿著整條直線 具有無窮間斷點，並且 的極限從該直線的兩側都趨於 。另一方面，右側的函式 沿同一條直線也具有無窮間斷點，但是 的值的極限在該直線的兩側不一致。

上面顯示的函式是分段函式

(2)

特別注意， 在 和 中分別都是單調的，並且沿著整條直線 具有跳躍間斷點。這與上面討論的單變數情況形成鮮明對比。

函式 定義為

(3)

在緊接上方的圖中顯示。與先前定義的函式 和 類似，函式 在點 處有一個間斷點，但與那些函式不同， 的點間斷更難識別。觀察和理解 的間斷的一種方法是將 轉換為極座標 和 的函式，結果得到函式 ，其形式為

(4)

除其他外，上面的表示式 (3) 表明 (以及 ) 在所有透過原點的直線上都是常數 (Lady 1998)，從而證實了那裡存在間斷點。這個例子也不同於為單變數函式概述的情況，因為它的間斷是本質的（即，它是不可去的），既不是跳躍間斷點也不是無窮間斷點。

儘管在連續性方面表現非常不同，但任何維度中所有實值函式的間斷點集都具有某些共同的性質。例如，這種函式的間斷點集合始終是一個 集；這是因為函式連續的所有點的集合形成一個 集 (Royden and Fitzpatrick 2010)。