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狄利克雷函式


cd!=c實數 (通常取 c=1d=0)。狄利克雷函式定義為

 D(x)={c   for x rational; d   for x irrational
(1)

並且處處不連續。狄利克雷函式可以解析地寫成

 D(x)=lim_(m->infty)lim_(n->infty)cos^(2n)(m!pix).
(2)
DirichletFunction

由於狄利克雷函式無法在不產生實線混合的情況下繪製,因此可以定義一個修改後的版本,有時也稱為狄利克雷函式 (Bruckner et al. 2008)、Thomae 函式 (Beanland et al. 2009) 或小 Riemann 函式 (Ballone 2010, p. 11),定義如下

 D_M(x)={0   for x irrational; 1/b   for x=a/b a reduced fraction
(3)

(Dixon 1991),如上圖所示。這個函式在無理數 x 處連續,在有理數 x不連續 (雖然無理點 x 周圍的小區間包含無限多個有理點,但這些有理數將具有非常大的分母)。當從沿著直線 y=x 的角落以正常視角觀察時,象限歐幾里得果園會變成修改後的狄利克雷函式 (Gosper)。


另請參閱

連續函式, 狄利克雷 Beta 函式, 狄利克雷 Eta 函式, 狄利克雷 Lambda 函式, 歐幾里得果園, 無理數, 有理數

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參考文獻

Ballone, F. A. "On Volterra Spaces." Masters thesis, Youngstown State University, Jun. 2010.Beanland, K.; Roberts, J. W.; and Stevenson, C. "Modifications of Thomae's Function and Differentiability." Amer. Math. Monthly 116, 531-535, 2009.Bruckner, A; Bruckner, J.; and Thomson, B. Elementary Real Analysis, 2nd ed.. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2008.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 177 and 184-186, 1991.Tall, D. "The Gradient of a Graph." Math. Teaching 111, 48-52, 1985.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 32-33, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

在 中被引用

狄利克雷函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Dirichlet Function." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/DirichletFunction.html

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