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自然對數

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NaturalLogarithm

自然對數 lnx 是以 e 為底的 對數，其中

e=2.718281828....
(1)

此函式可以定義為

lnx=int_1^x(dt)/t
(2)

對於 x>0。

NaturalLogEPlot

此定義意味著 e 是唯一的數字，其性質是由 雙曲線 y=1/x、x 軸以及垂直線 x=1 和 x=e 圍成的區域面積為 1。換句話說，

int_1^e(dx)/x=lne=1.
(3)

符號 lnx 在物理學和工程學中用於表示自然對數，而數學家通常使用符號 logx。在本文中，lnx=log_ex 表示自然對數，而 logx=log_(10)x 表示常用對數。

關於自然對數冪的表示法有很多約定俗成的用法。雖然有些作者使用 ln^nz（即，使用類似於三角函式的約定），但通常也寫作 (lnz)^n。

常用對數和自然對數可以互相表示為

lnx=(log_(10)x)/(log_(10)e)
(4)
log_(10)x=(lnx)/(ln10).
(5)

自然對數在微積分中尤其有用，因為它的導數由簡單方程給出

d/(dx)lnx=1/x,
(6)

而其他底數的對數的導數則更復雜

d/(dx)log_bx=1/(xlnb).
(7)
NaturalLogBranchCut

自然對數可以解析延拓到複數，形式為

lnz=ln|z|+iarg(z),
(8)

其中 |z| 是複數模，arg(z) 是複數輻角。自然對數是多值函式，因此在複平面中需要分支切割線，Wolfram 語言的約定將其置於 (-infty,0]。

NaturalLogReImAbs
最小值 最大值
實部
虛部 Powered by webMathematica

自然對數的主值在 Wolfram 語言中實現為Log[x]，等價於Log[E, x]。此函式在複平面中如上圖所示。

請注意，反三角函式和反雙曲函式可以用自然對數表示（實際上，通常定義為自然對數），如下表所示。因此，一旦這些定義達成一致，自然對數的分支切割線結構就確定了這些函式的分支切割線。

函式符號定義
反餘割csc^(-1)z-iln(sqrt(1-1/(z^2)+i/z))
反餘弦cos^(-1)z1/2pi+iln(iz+sqrt(1-z^2))
反餘切cot^(-1)z1/2i[ln((z-i)/z)-ln((z+i)/z)]
反雙曲餘割csch^(-1)zln(sqrt(1+1/(z^2))+1/z)
反雙曲餘弦cosh^(-1)zln(z+sqrt(z-1)sqrt(z+1))
反雙曲餘切coth^(-1)z1/2[ln(1+1/z)-ln(1-1/z)]
反雙曲正割sech^(-1)zln(sqrt(1/z-1)sqrt(1/z+1)+1/z)
反雙曲正弦sinh^(-1)zln(z+sqrt(z^2+1))
反雙曲正切tanh^(-1)z1/2[ln(1+z)-ln(1-z)]
反正割sec^(-1)z1/2pi+iln(sqrt(1-1/(z^2))+i/z)
反正弦sin^(-1)z-iln(iz+sqrt(1-z^2))
反正切tan^(-1)z1/2i[ln(1-iz)-ln(1+iz)]

墨卡託級數

ln(1+x)=x-1/2x^2+1/3x^3-...
(9)

給出了自然對數的泰勒級數。

對數函式的連分數表示包括

ln(1+x)=x/(1+(1^2x)/(2+(1^2x)/(3+(2^2x)/(4+(2^2x)/(5+(3^2x)/(6+(3^2x)/(7+...)))))))
(10)

（Lambert 1770; Lagrange 1776; Olds 1963, p. 138; Wall 1948, p. 342）和

ln((1+x)/(1-x))=(2x)/(1-(x^2)/(3-(4x^2)/(5-(9x^2)/(7-(16x^2)/(9-...)))))
(11)

（Euler 1813-1814; Wall 1948, p. 343; Olds 1963, p. 139）。

對於複數 z，自然對數滿足

lnz=ln[re^(i(theta+2npi))]
(12)
=lnr+i(theta+2npi)
(13)

和

PV(lnz)=lnr+itheta,
(14)

其中 PV 是主值。

自然對數的一些特殊值包括

ln(-1)=ipi
(15)
ln0=-infty
(16)
ln1=0
(17)
lne=1
(18)
ln(+/-i)=+/-1/2pii.
(19)

自然對數有時可以寫成“更簡單”的對數的和或差，例如

ln(2+sqrt(3))=2ln(1+sqrt(3))-ln2,
(20)

這直接來自以下恆等式

2+sqrt(3)=1/2(1+sqrt(3))^2.
(21)

Plouffe (2006) 發現了以下優美的恆等式

ln2=10sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(pin)+1))+6sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(pin)-1))-4sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(2pin)-1))
(22)
ln3=9sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(pin)-1))+(49)/3sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(pin)+1))-(14)/3sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(2pin)+1))+sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(3pin)-1))-7/3sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(3pin)+1))+2/3sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(6pin)+1))
(23)
ln5=(57)/4sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(pin)-1))+(91)/4sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(pin)+1))-(13)/2sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(2pin)+1))+3/4sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(5pin)-1))-7/4sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(5pin)+1))+1/2sum_(n=1)^(infty)1/(n(e^(10pin)+1)).
(24)

另請參閱

常用對數, e, Lg, 對數, Nat, 自然對數焦散線, 2 的自然對數, 10 的自然對數 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Euler, L. "Commentatio in fractionem continuam qua illustris La Grange potestates binomiales expressit." Mém. de l'Acad. imperiale des sciences de St. Pétersbourg 6, 1813-1814.Lagrange, J.-L. "Sur l'usage des fractions continues dans le calcul intégral." Nouv. mém. de l'académie royale des sciences et belles-lettres Berlin, 236-264, 1776. Reprinted in Oeuvres, Vol. 4, pp. 301-302.Lambert, J. L. Beiträge zum Gebrauch der Mathematik und deren Anwendung. Theil 2. Berlin, 1770.Olds, C. D. Continued Fractions. New York: Random House, 1963.Plouffe, S. "Identities Inspired from Ramanujan Notebooks (Part 2)." Apr. 2006. http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf.Wall, H. S. Analytic Theory of Continued Fractions. New York: Chelsea, 1948.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 30th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

在 中被引用

自然對數

引用為

Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/NaturalLogarithm.html

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