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反雙曲餘割

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反雙曲餘割 csch^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 481)，有時稱為面積雙曲餘割 (Harris and Stocker 1998, p. 271)，有時記為 cosech^(-1)z (Beyer 1987, p. 181) 或 arccschz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87; Jeffrey 2000, p. 124)，是 多值函式，它是 反函式 雙曲餘割 的反函式。變體 Arccschz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87) 和 Arcschz (Harris and Stocker 1998, p. 263) 有時用於指代顯式的 主值。更糟糕的是，符號 arccschz 有時用於主值，而 Arccschz 則用於多值函式 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87)。請注意，在符號 csch^(-1)z 中，cschz 是 雙曲餘割，而上標 -1 表示 反函式，不是 乘法逆元。

反雙曲餘割是一個 多值函式，因此在 複平面 中需要一個 分支切割，Wolfram Language 的約定將其放置在 (-i,i)。

主值 csch^(-1)z 在 Wolfram Language 中實現為ArcCsch[z]。

它具有特殊值

csch^(-1)2=lnphi,
(1)

其中 phi 是 黃金比例。

InverseHyperbolicCosecantBranchCut

反雙曲餘割是一個 多值函式，因此在 複平面 中需要一個 分支切割，Wolfram Language 的約定將其放置線上段 (-i,i) 上。這遵循 csch^(-1)z 的定義，即

csch^(-1)z=ln(sqrt(1+1/(z^2))+1/z).
(2)

反雙曲餘割的 導數 是

d/(dz)csch^(-1)z=-1/(z^2sqrt(1+1/(z^2))),
(3)

而 不定積分 是

intcsch^(-1)zdz =zcsch^(-1)z+ln[z(1+sqrt((1+z^2)/(z^2)))]+C.
(4)

對於實數 x，它滿足

csch^(-1)x={ln((1-sqrt(1+x^2))/x) for x<0; ln((1+sqrt(1+x^2))/x) for x>0.
(5)

反雙曲餘割具有關於 0 的 Puiseux 級數

csch^(-1)x=-lnx+ln2+sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1)(2n-1)!!)/(2n(2n)!!)x^(2n)
(6)
=-lnx+ln2+1/4x^2-3/(32)x^4+5/(96)x^6+...
(7)

(OEIS A052468 和 A052469) 以及關於 infty 的 泰勒級數，為

csch^(-1)x=sum_(k=1)^(infty)(P_(k-1)(0))/kx^(-k)
(8)
=sum_(n=1)^(infty)((-1)^n(1/2)_(n-1))/((2n-1)(n-1)!)x^(1-2n)
(9)
=x^(-1)-1/6x^(-3)+3/(40)x^(-5)-5/(112)x^(-7)+...
(10)

(OEIS A055786 和 A002595)，其中 P_k(x) 是 勒讓德多項式，(1/2)_n 是 波赫哈默爾符號。

另請參見

雙曲餘割, 反雙曲函式

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcCsch/

在 中探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Hyperbolic Functions." §4.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 86-89, 1972.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A052468, A052469, A055786 and A002595/M4233 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Hyperbolic Functions." §6.8 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 481-483, 1995.

在 上引用

反雙曲餘割

請引用為

Weisstein, Eric W. "反雙曲餘割。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseHyperbolicCosecant.html

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