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雙曲餘割

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Csch
CschReIm
CschContours

雙曲餘割定義為

cschz=1/(sinhz)=2/(e^z-e^(-z)).
(1)

它在 Wolfram 語言 中被實現為Csch[z].

它透過以下方式與 雙曲餘切 相關

cschz=coth(1/2z)-cothz.
(2)

導數 由下式給出

d/(dz)cschz=-cothzcschz,
(3)

其中 cothz 是 雙曲餘切，不定積分由下式給出

intcschzdz=ln[sinh(1/2z)]-ln[cosh(1/2z)]+C,
(4)

其中 C 是 積分常數。

它具有 泰勒級數

cschz=sum_(n=-1)^(infty)(2^(n+1)B_(n+1)(1/2))/((n+1)!)z^n
(5)
=1/z-sum_(n=1)^(infty)(2(2^(2n-1)-1)B_(2n))/((2n)!)z^(2n-1)
(6)
=1/z-z/6+(7z^3)/(360)-(31z^5)/(15120)+...
(7)

(OEIS A036280 和 A036281), 其中 B_n(x) 是 伯努利多項式，B_n 是 伯努利數。

求和包括

sum_(k=1)^(infty)csch^2(pik)=1/6-1/(2pi)
(8)
=0.007511723...
(9)

(OEIS A110191; Berndt 1977)。

CschBifurcation

上面的圖顯示了 csch(x+alpha) 的分岔圖。

另請參閱

伯努利數, 雙極座標, 雙極柱座標, 餘割, 亥姆霍茲微分方程--環面座標, 雙曲函式, 雙曲正弦, 反雙曲餘割, 潘索螺線, 旋轉曲面, 環面函式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Hyperbolic Functions." §4.5 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 83-86, 1972.Berndt, B. C. "Modular Transformations and Generalizations of Several Formulae of Ramanujan." Rocky Mtn. J. Math. 7, 147-189, 1977.Jeffrey, A. "Hyperbolic Identities." §2.5 in 數學公式和積分手冊，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A036280, A036281, and A110191 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences." (整數數列線上百科全書)Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Hyperbolic Secant sech(x) and Cosecant csch(x) Functions." Ch. 29 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 273-278, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Hyperbolic Functions." §6.7 in CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995.

在 中被引用

雙曲餘割

請引用為

Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Cosecant." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HyperbolicCosecant.html

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