環形函式是一類也稱為環函式的函式，它們出現在具有環形對稱性的系統中。 環形函式可以用相關的第一類勒讓德函式和第二類勒讓德函式表示 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 336)
![P_(nu-1/2)^mu(cosheta)=[Gamma(1-mu)]^(-1)2^(2mu)(1-e^(-2eta))^(-mu)e^(-(nu+1/2)eta)_2F_1(1/2-mu,1/2+nu-mu;1-2mu;1-e^(-2eta))
P_(n-1/2)^m(cosheta)=(Gamma(n+m+1/2)(sinheta)^m)/(Gamma(n-m+1/2)2^msqrt(pi)Gamma(m+1/2))int_0^pi(sin^(2m)phidphi)/((cosheta+cosphisinheta)^(n+m+1/2))
Q_(nu-1/2)^mu(cosheta)=[Gamma(1+nu)]^(-1)sqrt(pi)e^(imupi)Gamma(1/2+nu+mu)(1-e^(-2eta))^mue^(-(nu+1/2)eta)_2F_1(1/2-mu,1/2+nu+mu;1+mu;1-e^(-2eta))
Q_(n-1/2)^m(cosheta)=((-1)^mGamma(n+1/2))/(Gamma(n-m+1/2))int_0^infty(cosh(mt)dt)/((cosheta+coshtsinheta)^(n+1/2))](/images/equations/ToroidalFunction/NumberedEquation1.svg) |
對於 
。 Byerly (1959) 認為
 |
是“環形諧波”。
環形函式是 
的微分方程的解，該方程是拉普拉斯方程在環形座標系中的解。
環形函式
另請參閱
締合勒讓德多項式, 圓錐函式, 拉普拉斯方程——環形座標使用 探索
參考文獻
Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "環形函式（或環函式）"。 §8.11 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 紐約: Dover, p. 336, 1972.Byerly, W. E. 傅立葉級數、球諧函式、柱諧函式和橢球諧函式的基本論著，以及在數學物理問題中的應用。 紐約: Dover, p. 266, 1959.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (Eds.). 數學百科詞典。 Cambridge, MA: MIT Press, p. 1468, 1980.在 上被引用
環形函式請引用為
Weisstein, Eric W. “環形函式”。 來自 ——一個 資源。 https://mathworld.tw/ToroidalFunction.html