拉普拉斯方程 -- 環面座標

在 環面座標 中，拉普拉斯方程 變為

(1)

嘗試 分離變數，代入試解

(2)

然後將結果除以 得到

(3)

函式 然後分離得到

(4)

給出解

(5)

將 代回併除以 得到

(6)

函式 然後分離得到

(7)

給出解

(8)

將 代回並乘以 得到

(9)

也可以寫成

(10)

(Arfken 1970, pp. 114-115)。拉普拉斯方程 是部分可分離的，但 亥姆霍茲微分方程 不是。

... 的微分方程的解被稱為 環面函式。