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第二類勒讓德函式

LegendreQ

第二類解 Q_l(x) 是 勒讓德微分方程 的解。第二類勒讓德函式與 勒讓德多項式 滿足相同的 遞推關係。第二類勒讓德函式在 Wolfram 語言 中以如下形式實現：LegendreQ[l, x]。 前幾個是

Q_0(x)=1/2ln((1+x)/(1-x))
(1)
Q_1(x)=x/2ln((1+x)/(1-x))-1
(2)
Q_2(x)=(3x^2-1)/4ln((1+x)/(1-x))-(3x)/2
(3)
Q_3(x)=(5x^3-3x)/4ln((1+x)/(1-x))-(5x^2)/2+2/3.
(4)

連帶第二類勒讓德函式 Q_l^m(x) 是連帶勒讓德微分方程的第二類解，並在 Wolfram 語言 中以如下形式實現：LegendreQ[l, m, x] Q_nu^mu(x) 關於 0 的 導數 是

[(dQ_nu^mu(x))/(dx)]_(x=0)=(2^musqrt(pi)cos[1/2pi(nu+mu)]Gamma(1/2nu+1/2mu+1))/(Gamma(1/2nu-1/2mu+1/2))
(5)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 334)。 對數導數 是

[(dlnQ_lambda^mu(z))/(dz)]_(z=0) =2exp{1/2piisgn(I[z])}([1/2(lambda+mu)]![1/2(lambda-mu)]!)/([1/2(lambda+mu-1)]![1/2(lambda-mu-1)]!)
(6)

(Binney and Tremaine 1987, p. 654)。

另請參閱

勒讓德微分方程, 第一類勒讓德函式, 勒讓德多項式

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreQGeneral/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreQ2General/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreQ3General/

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "勒讓德函式"。數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版 第 8 章。 New York: Dover, pp. 331-339, 1972.Arfken, G. "第二類勒讓德函式，Q_n(x)。" 物理學家數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 701-707, 1985.Binney, J. and Tremaine, S. "連帶勒讓德函式"。星系動力學 附錄 5。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 654-655, 1987.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理論物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 597-600, 1953.Snow, C. 超幾何函式和勒讓德函式及其在位勢論積分方程中的應用。 Washington, DC: U. S. Government Printing Office, 1952.Spanier, J. and Oldham, K. B. "勒讓德函式 P_nu(x) 和 Q_nu(x)。" 函式圖集 第 59 章。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 581-597, 1987.

在 中被引用

第二類勒讓德函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "第二類勒讓德函式。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/LegendreFunctionoftheSecondKind.html

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