勒讓德微分方程 -- 來自

勒讓德微分方程是二階常微分方程

(1)

它可以被重寫為

(2)

上述形式是所謂的“關聯勒讓德微分方程”在情況下的特例。勒讓德微分方程在、1 和處有正則奇點。

如果變數被替換為，則勒讓德微分方程變為

(3)

以下推導了關聯 () 情況。

由於勒讓德微分方程是二階常微分方程，它有兩個線性獨立的解。在有限點處正則的解稱為第一類勒讓德函式，而在處奇異的解稱為第二類勒讓德函式。如果是整數，則第一類函式簡化為稱為勒讓德多項式的多項式。

勒讓德微分方程可以使用弗羅貝尼烏斯方法透過進行的級數展開來求解，

代入，

(7)

$sum_(n=0)^infty{(n+1)(n+2)a_(n+2)+[-n(n-1)-2n+l(l+1)]a_n}=0,$

(14)

因此每一項必須消失，並且

(15)

			(16)
			(17)

因此，

因此偶解是

(23)

類似地，奇解是

(24)

如果是偶數整數，級數簡化為次數為且僅包含偶數次冪的多項式，而級數發散。如果是奇數整數，級數簡化為次數為且僅包含奇數次冪的多項式，而級數發散。整數的通解由勒讓德多項式給出

		$c_n{y_1(x) for l even; y_2(x) for l odd$	(25)
		$c_n{_2F_1(-1/2,1/2(l+1);1/2,x^2) for l even; x_2F_1(1/2(l+2),1/2(1-l);3/2;x^2) for l odd$	(26)

其中選擇以產生歸一化，而是超幾何函式。

勒讓德微分方程的推廣形式被稱為關聯勒讓德微分方程。

Moon 和 Spencer (1961, p. 155) 將微分方程稱為

(27)

勒讓德波動方程 (Zwillinger 1997, p. 124)。

勒讓德微分方程