主題
Search

伴隨勒讓德微分方程

伴隨勒讓德微分方程是 勒讓德微分方程 的推廣，由下式給出

d/(dx)[(1-x^2)(dy)/(dx)]+[l(l+1)-(m^2)/(1-x^2)]y=0,
(1)

可以寫成

(1-x^2)(d^2y)/(dx^2)-2x(dy)/(dx)+[l(l+1)-(m^2)/(1-x^2)]y=0
(2)

（Abramowitz 和 Stegun 1972；Zwillinger 1997，第 124 頁）。方程的解 P_l^m(x) 稱為 伴隨勒讓德多項式（如果 l 是整數），或第一類伴隨勒讓德函式（如果 l 不是整數）。完整解是

y=C_1P_l^m(x)+C_2Q_l^m(x),
(3)

其中 Q_l^m(x) 是 第二類勒讓德函式。

伴隨勒讓德微分方程通常寫成透過設定 x=costheta 獲得的形式。將恆等式

(dy)/(dx)=(dy)/(d(costheta))
(4)
=-1/(sintheta)(dy)/(dtheta)
(5)
(d^2y)/(dx^2)=1/(sintheta)d/(dtheta)(1/(sintheta)(dy)/(dtheta))
(6)
=1/(sin^2theta)((d^2y)/(dtheta^2)-(costheta)/(sintheta)(dy)/(dtheta))
(7)

代入 (◇) 然後得到

((d^2y)/(dtheta^2)-(costheta)/(sintheta)(dy)/(dtheta))+2(costheta)/(sintheta)(dy)/(dtheta)+[l(l+1)-(m^2)/(sin^2theta)]y=0
(8)
(d^2y)/(dtheta^2)+(costheta)/(sintheta)(dy)/(dtheta)+[l(l+1)-(m^2)/(sin^2theta)]y=0.
(9)

參見

伴隨勒讓德多項式, 勒讓德微分方程, 第二類勒讓德函式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約：Dover，第 332 頁，1972 年。Moon, P. 和 Spencer, D. E. 工程師場論。 紐約：Van Nostrand，1961 年。Zwillinger, D. 微分方程手冊，第 3 版。 波士頓，馬薩諸塞州：Academic Press，1997 年。

請引用本文為

Weisstein, Eric W. “伴隨勒讓德微分方程。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AssociatedLegendreDifferentialEquation.html

主題分類