弗羅貝尼烏斯方法

如果 是 常微分方程 的常點，則將 在關於 的 泰勒級數 中展開。通常，展開點可以取為 ，得到 麥克勞林級數

將 代回 ODE，並按 冪 對 係數 進行分組。現在，獲得 項的 遞推關係，並用 表示 級數展開。前幾個導數的展開式為

如果 是 常微分方程 的正則奇點，

可以透過弗羅貝尼烏斯方法或在 洛朗級數 中展開來找到解。在弗羅貝尼烏斯方法中，假設解 的形式為

因此

現在，將 代回 ODE，並按 冪 對 係數 進行分組，以獲得 項的遞迴 公式，然後用 表示 級數展開。將 項設為 0 將產生所謂的 指標方程，這將給出 級數展開 中 的允許值。

作為一個例子，考慮 貝塞爾微分方程

將 (◇) 代入 (◇) 得到

透過設定 獲得的 指標方程 為

由於 被定義為第一個 非零 項，，所以 。為了說明目的，忽略 ，僅考慮 的情況（避免特殊情況 ），那麼方程 (14) 要求

（所以 ）和

對於 , 3, ..., 所以

對於 。然後代回到 (◇)，重新排列和簡化，得到定義 第一類貝塞爾函式 的級數解，它是 (◇) 的非奇異解。（考慮 的情況類似，並得到解 。）

福克斯定理 保證，如果展開點是常點或正則 奇點，則應用弗羅貝尼烏斯方法時，至少會獲得一個 冪級數 解。對於正則 奇點，也可以使用 洛朗級數 展開。在 洛朗級數 中展開 ，令

將 代回 ODE，並按 冪 對 係數 進行分組。現在，獲得 項的遞迴 公式，並用 表示 泰勒級數。