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貝塞爾微分方程

貝塞爾微分方程是由下式給出的線性二階常微分方程

x^2(d^2y)/(dx^2)+x(dy)/(dx)+(x^2-n^2)y=0.
(1)

等價地，兩邊除以 x^2，

(d^2y)/(dx^2)+1/x(dy)/(dx)+(1-(n^2)/(x^2))y=0.
(2)

此方程的解定義了貝塞爾函式 J_n(x) 和 Y_n(x)。該方程在 0 處有一個正則奇點，在 infty 處有一個非正則奇點。

Bowman (1958) 給出的貝塞爾微分方程的變換形式是

x^2(d^2y)/(dx^2)+(2p+1)x(dy)/(dx)+(a^2x^(2r)+beta^2)y=0.
(3)

解是

y=x^(-p)[C_1J_(q/r)(alpha/rx^r)+C_2Y_(q/r)(alpha/rx^r)],
(4)

其中

q=sqrt(p^2-beta^2),
(5)

J_n(x) 和 Y_n(x) 是第一類和第二類貝塞爾函式，C_1 和 C_2 是常數。另一種形式是透過令 y=x^alphaJ_n(betax^gamma)、eta=yx^(-alpha) 和 xi=betax^gamma (Bowman 1958, p. 117) 給出，則

(d^2y)/(dx^2)-(2alpha-1)/x(dy)/(dx)+(beta^2gamma^2x^(2gamma-2)+(alpha^2-n^2gamma^2)/(x^2))y=0.
(6)

解是

y={x^alpha[AJ_n(betax^gamma)+BY_n(betax^gamma)] for integer n; x^alpha[AJ_n(betax^gamma)+BJ_(-n)(betax^gamma)] for noninteger n.
(7)

另請參閱

艾裡函式, 安格函式, Bei, Ber, 貝塞爾函式, 貝塞爾函式諾伊曼級數, 布林熱假設, 卡塔蘭積分, 柱函式, 狄尼展開, 漢克爾函式, 漢克爾積分, 半球函式, 卡普坦級數, 利普希茨積分, 洛梅爾微分方程, 洛梅爾函式, 洛梅爾積分, 帕塞瓦爾積分, 泊松積分, 拉馬努金積分, 裡卡蒂微分方程, 索寧積分, 斯特魯韋函式, 韋伯函式, 韋伯不連續積分

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). §9.1.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.Bowman, F. Introduction to Bessel Functions. New York: Dover, 1958.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 550, 1953.Zwillinger, D. (編). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 413, 1995.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 121, 1997.

在 中引用

貝塞爾微分方程

請引用為

Weisstein, Eric W. "貝塞爾微分方程。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/BesselDifferentialEquation.html

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