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第二類貝塞爾函式

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BesselY

第二類貝塞爾函式 Y_n(x) （例如，Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 703, eqn. 6.649.1），有時也表示為 N_n(x) （例如，Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 657, eqn. 6.518），是貝塞爾微分方程的一個解，該解在原點處是奇點。第二類貝塞爾函式也稱為諾伊曼函式或韋伯函式。上面的圖顯示了 Y_n(x) 對於 n=0、1、2、...、5。第二類貝塞爾函式在 Wolfram 語言中實現為BesselY[nu, z]。

設 v=J_m(x) 為第一個解，u 為另一個解（因為貝塞爾微分方程是二階的，所以存在兩個線性無關解）。那麼

xu^('')+u^'+xu=0
(1)
xv^('')+v^'+xv=0.
(2)

取 v× (1) 減去 u× (2),

x(u^('')v-uv^(''))+u^'v-uv^'=0
(3)
d/(dx)[x(u^'v-uv^')]=0,
(4)

因此 x(u^'v-uv^')=B，其中 B 是一個常數。除以 xv^2,

(u^'v-uv^')/(v^2)=d/(dx)(u/v)=B/(xv^2)
(5)
u/v=A+Bint(dx)/(xv^2).
(6)

重新排列並使用 v=J_m(x) 得到

u=AJ_m(x)+BJ_m(x)int(dx)/(xJ_m^2(x))
(7)
=A^'J_m(x)+B^'Y_m(x),
(8)

其中 Y_m 是所謂的第二類貝塞爾函式。

Y_nu(z) 可以定義為

Y_nu(z)=(J_nu(z)cos(nupi)-J_(-nu)(z))/(sin(nupi))
(9)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 358)，其中 J_nu(z) 是第一類貝塞爾函式，並且對於 nu 為整數 n，由級數

Y_n(z)=-((1/2z)^(-n))/pisum_(k=0)^(n-1)((n-k-1)!)/(k!)(1/4z^2)^k+2/piln(1/2z)J_n(z)-((1/2z)^n)/pisum_(k=0)^infty[psi_0(k+1)+psi_0(n+k+1)]((-1/4z^2)^k)/(k!(n+k)!),
(10)

其中 psi_0(x) 是雙伽瑪函式（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 360）。

該函式具有積分表示

Y_nu(z)=1/piint_0^pisin(zsintheta-nutheta)dtheta-1/piint_0^infty[e^(nut)+e^(-nut)(-1)^nu]e^(-zsinht)dt
(11)
=-(2(1/2z)^(-nu))/(sqrt(pi)Gamma(1/2-nu))int_1^infty(cos(zt)dt)/((t^2-1)^(nu+1/2))
(12)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 360)。

漸近級數為

Y_m(x)∼{2/pi[ln(1/2x)+gamma] m=0,x<<1; -(Gamma(m))/pi(2/x)^m m!=0,x<<1
(13)
Y_m(x)∼sqrt(2/(pix))sin(x-(mpi)/2-pi/4) x>>1,
(14)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式。

BesselY0ReIm
BesselY0Contours

對於特殊情況 n=0，Y_0(x) 由以下級數給出

Y_0(z)=2/pi{[ln(1/2z)+gamma]J_0(z)+sum_(k=1)^infty(-1)^(k+1)H_k((1/4z^2)^k)/((k!)^2)},
(15)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 360)，其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，H_n 是調和數。

另請參閱

第一類貝塞爾函式, 布林熱假設, 漢克爾函式, 第一類修正貝塞爾函式, 第二類修正貝塞爾函式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselY/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "貝塞爾函式 J 和 Y。" §9.1 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 358-364, 1972.Arfken, G. "諾伊曼函式，第二類貝塞爾函式，N_nu(x)。" §11.3 in 物理學家數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 596-604, 1985.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 積分表、級數表和乘積表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, 2000.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理論物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 625-627, 1953.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "諾伊曼函式 Y_nu(x)。" Ch. 54 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 533-542, 1987.Watson, G. N. 貝塞爾函數理論專著，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 上被引用

第二類貝塞爾函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "第二類貝塞爾函式。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/BesselFunctionoftheSecondKind.html

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