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第一類修正貝塞爾函式

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BesselI

函式 I_n(x) 是修正貝塞爾微分方程的解之一，並且與第一類貝塞爾函式 J_n(x) 密切相關。上面的圖顯示了 I_n(x)，其中 n=1, 2, ..., 5。第一類修正貝塞爾函式在 Wolfram 語言 中實現為BesselI[nu, z]。

第一類修正貝塞爾函式 I_n(z) 可以透過圍道積分定義

I_n(z)=1/(2pii)∮e^((z/2)(t+1/t))t^(-n-1)dt,
(1)

其中圍道包圍原點並沿逆時針方向遍歷（Arfken 1985，第 416 頁）。

用 J_n(x) 表示，

I_n(x)=i^(-n)J_n(ix)=e^(-npii/2)J_n(xe^(ipi/2)).
(2)

對於實數 nu，該函式可以使用以下公式計算

I_nu(z)=(1/2z)^nusum_(k=0)^infty((1/4z^2)^k)/(k!Gamma(nu+k+1)),
(3)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式。積分公式為

I_nu(z)=1/piint_0^pie^(zcostheta)cos(nutheta)dtheta-(sin(nupi))/piint_0^inftye^(-zcosht-nut)dt,
(4)

當 nu 為整數 n 時，簡化為

I_n(z)=1/piint_0^pie^(zcostheta)cos(ntheta)dtheta
(5)

（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 376 頁）。

用 I_0(x) 表示更高階修正貝塞爾函式的導數恆等式為

I_n(x)=T_n(d/(dx))I_0(x),
(6)

其中 T_n(x) 是第一類切比雪夫多項式。

BesselI0ReIm
BesselI0Contours

當 n=0 的特殊情況給出 I_0(z) 作為級數

I_0(z)=sum_(k=0)^infty((1/4z^2)^k)/((k!)^2).
(7)

另請參見

第一類貝塞爾函式、連分數常數、第二類修正貝塞爾函式、韋伯公式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselI/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編輯)。 "修正貝塞爾函式 I 和 K。" §9.6 在 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約：Dover，第 374-377 頁，1972 年。Arfken, G. "修正貝塞爾函式，I_nu(x) 和 K_nu(x)。" §11.5 在 物理學家數學方法，第 3 版。 奧蘭多，佛羅里達州：Academic Press，第 610-616 頁，1985 年。Finch, S. R. 數學常數。 英國劍橋：劍橋大學出版社，2003 年。Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "分數階貝塞爾函式、艾裡函式、球貝塞爾函式。" §6.7 在 FORTRAN 數值秘籍：科學計算的藝術，第 2 版。 英國劍橋：劍橋大學出版社，第 234-245 頁，1992 年。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "雙曲貝塞爾函式 I_0(x) 和 I_1(x)" 和 "一般雙曲貝塞爾函式 I_nu(x)。" 第 49-50 章在 函式圖譜。 華盛頓特區：Hemisphere，第 479-487 和 489-497 頁，1987 年。

在 上被引用

第一類修正貝塞爾函式

請按以下方式引用

Weisstein, Eric W. "第一類修正貝塞爾函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ModifiedBesselFunctionoftheFirstKind.html

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