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斯特魯夫函式

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StruveH

斯特魯夫函式，記為 H_n(z) 或有時 H_n(z)，定義為

H_nu(z)=(1/2z)^(nu+1)sum_(k=0)^infty((-1)^k(1/2z)^(2k))/(Gamma(k+3/2)Gamma(k+nu+3/2)),
(1)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式 (Abramowitz and Stegun 1972, pp. 496-499)。 Watson (1966, p. 338) 將斯特魯夫函式定義為

H_nu(z)=(2(1/2z)^nu)/(Gamma(nu+1/2)Gamma(1/2))int_0^1(1-t^2)^(nu-1/2)sin(zt)dt.
(2)

斯特魯夫函式的實現為StruveH[n, z]。

斯特魯夫函式及其導數滿足

H_(nu-1)(z)-H_(nu+1)(z)=2H_nu^'(z)-((1/2z)^nu)/(sqrt(pi)Gamma(nu+3/2)).
(3)

對於整數 n，斯特魯夫函式給出了以下方程的解

z^2y^('')+zy^'+(z^2-n^2)y=2/pi(z^(n+1))/((2n-1)!!),
(4)

其中 n!! 是雙階乘。

斯特魯夫函數出現在安裝在無限障板中的剛性活塞輻射器問題中，其輻射阻抗由下式給出

Z=rhocpia^2[R_1(2ka)-iX_1(2ka)],
(5)

其中

R_1(x)=1-(2J_1(x))/(2x)
(6)
X_1(x)=(2H_1(x))/x,
(7)

其中 a 是活塞半徑， k 是波數 omega/c， rho 是介質的密度， c 是聲速， J_1(x) 是第一階第一類貝塞爾函式，而 H_1(z) 是第一類斯特魯夫函式。

StruveHReIm
StruveHContours

上面的圖示顯示了 複平面中斯特魯夫函式 H_0(z) 的值。

對於整數階，

H_0(z)=2/pisum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/([(2k+1)!!]^2)z^(2k+1)
(8)
=2/pi(z-1/9z^3+1/(225)z^5-1/(11025)z^7+1/(893025)z^9-...)
(9)
H_1(z)=2/pisum_(k=1)^(infty)((-1)^(k+1))/((2k-1)!!(2k+1)!!)z^(2k)
(10)
=2/pi(1/3z^2-1/(45)z^4+1/(1575)z^6-1/(99225)z^8+...)
(11)

(OEIS A001818 和 A079484)。

StruveH1Approximation

對於實數 x，H_1(x) 的一個簡單近似為

H_1(x) approx h(x) =2/pi-J_0(x)+((16)/pi-5)(sinx)/x+(12-(36)/pi)(1-cosx)/(x^2),
(12)

在 [0,infty) 上的平方近似誤差等於 2.2×10^(-4)，根據帕塞瓦爾公式 (Aarts and Janssen 2003)。 方程 (12) 的右側等於 0=H_1(0) 對於 x=0。 近似誤差很小，並且在整個 x 範圍內均勻分佈，對於 x=0 消失，並在 0.005 左右達到最大值。 最大相對誤差似乎小於 1%，並隨著 x->infty 趨於零。

對於半整數階，

H_(n+1/2)(z)=Y_(n+1/2)(z)+1/pisum_(k=0)^(n)(Gamma(k+1/2)(1/2z)^(-2k+n-1/2))/(Gamma(n+1-k))
(13)
H_(-(n+1/2))(z)=(-1)^nJ_(n+1/2)(z).
(14)

前幾個例子是

H_(1/2)(z)=sqrt(2/(piz))(1-cosz)
(15)
H_(3/2)(z)=(2+z^2-2cosz-2zsinz)/(sqrt(2pi)z^(3/2))
(16)
H_(5/2)(z)=(24+4z^2+z^4+8(z^2-3)cosz-24zsinz)/(4sqrt(2pi)z^(5/2)).
(17)

另請參閱

安格函式, 貝塞爾函式, 修正斯特魯夫函式, 韋伯函式

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/StruveH/

此條目部分由 Ronald M. Aarts 貢獻

使用 探索

參考文獻

Aarts, R. M. 和 Janssen, A. J. E. M. "阻抗計算中出現的斯特魯夫函式 H_1 的近似。" J. Acoust. Soc. Amer. 113, 2635-2637, 2003.Abramowitz, M. "斯特魯夫函式積分表。" J. Math. Phys. 29, 49-51, 1950.Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "斯特魯夫函式 H_nu(x)。" §12.1 在 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 496-498, 1972.Apelblat, A. "斯特魯夫函式 H_nu(x) 和 L_nu(x) 的階數的導數和積分。" J. Math. Anal. Appl. 137, 17-36, 1999.Cook, R. K. "斯特魯夫函式的一些性質。" J. Washington Acad. Sci. 47, 365-368, 1957.Horton, C. W. "Lommel 積分到斯特魯夫函式的擴充套件，及其在聲輻射中的應用。" J. Math. Phys. 29, 31-37, 1950.Horton, C. W. "斯特魯夫函式和一些包含貝塞爾函式和斯特魯夫函式的積分的簡表。" J. Math. Phys. 29, 56-58, 1950.Mathematical Tables Project. "斯特魯夫函式 L_nu(z) 和 H_nu(z) 表。" J. Math. Phys. 25, 252-259, 1946.Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; 和 Brychkov, Yu. A. "斯特魯夫函式 H_nu(x) 和 L_nu(x)。" §1.4 在 積分與級數，第 3 卷：更多特殊函式。 Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 24-27, 1990.Sloane, N. J. A. 序列 A001818/M4669 和 A079484 在 "整數序列線上百科全書" 中。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "斯特魯夫函式。" 第 57 章 在 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 563-571, 1987.Watson, G. N. 貝塞爾函數理論專著，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 上引用

斯特魯夫函式

請引用為

Aarts, Ronald M. 和 Weisstein, Eric W. "斯特魯夫函式。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/StruveFunction.html

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