雙階乘 -- 來自 - 數學天地

雙階乘

正整數的雙階乘是通常階乘 $n!\$ 的推廣，定義為

n!!={n·(n-2)...5·3·1 n>0 odd; n·(n-2)...6·4·2 n>0 even; 1 n=-1,0.

(1)

注意，，根據定義 (Arfken 1985, p. 547)。

符號的起源似乎不廣為人知，並且在 Cajori (1993) 中沒有提及。

對於 , 1, 2, ...，前幾個值是 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, ... (OEIS A006882)。的十進位制位數，對於 , 1, ... 是 1, 4, 80, 1285, 17831, 228289, 2782857, 32828532, ... (OEIS A114488)。

雙階乘在 Wolfram 語言中以 n!! 或Factorial2[n]。

雙階乘是多階乘的一個特例。

雙階乘可以用伽瑪函式表示為

(2)

(Arfken 1985, p. 548)。

雙階乘也可以使用定義擴充套件到負奇整數

			(3)
			(4)

對於 , 1, ... (Arfken 1985, p. 547)。

	最小值	最大值
實部
虛部

類似地，雙階乘可以擴充套件到複數引數，表示為

(5)

有很多恆等式將雙階乘與階乘聯絡起來。由於

(2n+1)!!2^nn!
=[(2n+1)(2n-1)...1][2n][2(n-1)][2(n-2)]...2·1
=[(2n+1)(2n-1)...1][2n(2n-2)(2n-4)...2]
=(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)...2·1
=(2n+1)!,

(6)

由此得出。對於 , 1, ...，前幾個值是 1, 3, 15, 105, 945, 10395, ... (OEIS A001147)。

同樣，由於

			(7)
			(8)
			(9)

由此得出 $(2n)!!=2^nn!\$ 。對於 , 1, ...，前幾個值是 1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, ... (OEIS A000165)。

最後，由於

(2n-1)!!2^nn!
=[(2n-1)(2n-3)...1][2n][2(n-1)][2(n-2)]...2(1)
=(2n-1)(2n-3)...1][2n(2n-2)(2n-4)...2]
=2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)...2(1)
=(2n)!,

(10)

由此得出

(11)

對於 $n\$ 奇數，

			(12)
			(13)
			(14)

對於 $n\$ 偶數，

			(15)
			(16)
			(17)

因此，對於任何 $n\$ ，

(18)

(19)

雙階乘滿足以下漂亮的級數

			(20)
			(21)
			(22)

後者給出了倒數雙階乘的閉合形式的和，如下所示

			(23)
			(24)
			(25)

(OEIS A143280)，其中是一個下不完全伽瑪函式。這個和是倒數多階乘常數的一個特例。

拉馬努金給出的一個閉合形式的和由下式給出

(26)

(Hardy 1999, p. 106)。Whipple (1926) 給出了這個和的推廣 (Hardy 1999, pp. 111-112)。

參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 544-545 and 547-548, 1985.

Meserve, B. E. "Double Factorials." Amer. Math. Monthly 55, 425-426, 1948.

Sloane, N. J. A. Sequences A000165/M1878, A001147/M3002, A006882/M0876, A114488, and A143280 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Whipple, F. J. W. "On Well-Poised Series, Generalised Hypergeometric Series Having Parameters in Pairs, Each Pair with the Same Sum." Proc. London Math. Soc. 24, 247-263, 1926.

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