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Barnes G-函式

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Barnes G-函式是 解析延拓，它是 G-函式在 Glaisher-Kinkelin 常數的構造中定義的。

G(n)=([Gamma(n)]^(n-1))/(H(n-1))
(1)

對於 n>0，其中 H(n) 是 超階乘，它具有特殊值

G(n)={0 if n=0,-1,-2,...; 1 if n=1; 0!1!2!...(n-2)! if n=2,3,...
(2)

對於 整數 n。此函式是 超階乘（Sloane 和 Plouffe 1995）的移位版本，對於 n=0、1、2、... 的值由 0, 1, 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, ... (OEIS A000178) 給出。

Barnes G-函式可以出現在數學物理學中的譜函式中 (Voros 1987)。

它在 Wolfram 語言中實現為BarnesG[n]。它的 自然對數 的一個特殊版本，針對大 n 進行了最佳化，在 Wolfram 語言中實現為LogBarnesG[n]。

複數 G-函式的 Barnes z 可以定義為

G(z+1)=(2pi)^(z/2)e^(-[z(z+1)+gammaz^2]/2)product_(n=1)^infty[(1+z/n)^ne^(-z+z^2/(2n))],
(3)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 264; Voros 1987)。乘積可以以閉合形式完成，得到恆等式

G(z)=(e^(1/12-zeta^'(-1,z))[Gamma(z)]^(z-1))/A
(4)

對於 R[z]>0，其中 zeta^'(-1,z) 是 Hurwitz zeta 函式的導數，Gamma(z) 是 伽瑪函式，而 A 是 Glaisher-Kinkelin 常數。另一個優雅的閉合形式表示式由下式給出

G(z)=(2pi)^(z/2)e^((z-1)[lnGamma(z)-z/2]-gamma_(-2)(z)),
(5)

其中 gamma_(-2)(z) 是負階的 多伽瑪函式。Barnes G-函式和 超階乘 H(z) 滿足關係式

H(z-1)G(z)=e^((z-1)lnGamma(z))
(6)

對於所有複數 z，其中 lnGamma(z) 是 對數伽瑪函式。

G(z) 是一個 整函式，類似於 1/Gamma(z)，只是它的階數為 2 而不是 1。

BarnesG

Barnes G-函式在上面繪製，評估為整數值。整數值 Barnes G-函式的一個略微變體有時被稱為 超階乘。

Barnes G-函式滿足泛函方程

G(z+1)=Gamma(z)G(z),
(7)

並具有 泰勒級數

lnG(z+1)=1/2[ln(2pi)-1]z-(1+gamma)(z^2)/2+sum_(n=3)^infty(-1)^(n-1)zeta(n-1)(z^n)/n
(8)

在 |z|<1 中。它也給出了有限乘積的解析解

product_(i=1)^nGamma(k+i)=(G(n+k+1))/(G(k+1)).
(9)

Barnes G-函式具有等效的反射公式

(G^'(z+1))/(G(z+1))=1/2ln(2pi)+1/2-z+z(Gamma^'(z))/(Gamma(z))
(10)
ln[(G(1-z))/(G(1+z))]=piint_0^zzcot(piz)dz-zln(2pi)
(11)
(G(1/2+z))/(G(1/2-z)) =((2pi)^z)/(Gamma(1/2+z))sqrt(pi/(cos(piz)))exp[piint_0^zztan(piz)dz]
(12)

(Voros 1987; Whittaker 和 Watson 1990, p. 264)。

導數由下式給出

d/(dz)G(z)=G(z)[(z-1)psi_0(z)-z+1/2ln(2pi)+1/2],
(13)

其中 psi_0(z) 是 雙伽瑪函式。

對於 R[z]>0，當 z->infty 時，Barnes G-函式的類 Stirling 漸近級數由下式給出

lnG(1+z)∼z^2(1/2lnz-3/4)+1/2ln(2pi)z-1/(12)lnz+zeta^'(-1)+O(1/z)
(14)

(Voros 1987)。這可以更精確地表示為

lnG(1+z)∼z^2(1/2lnz-3/4)+1/2ln(2pi)z-1/(12)lnz+zeta^'(-1) +sum_(k=1)^n(B_(2k+2))/(4k(k+1)z^(2k))+O(1/(z^(2n+2))),
(15)

其中 B_k 是 伯努利數 (Adamchik 2001b; 勘誤已修正)。

G(n) 具有特殊值

G(1/4)=A^(-9/8)Gamma^(-3/4)(1/4)e^(3/32-K/(4pi))
(16)
G(3/4)=A^(-9/8)Gamma^(-1/4)(3/4)e^(3/32+K/(4pi))
(17)
=A^(-9/8)2^(-1/8)pi^(-1/4)Gamma^(1/4)(1/4))e^(3/32+K/(4pi))
(18)

(OEIS A087013 和 A087015) 對於 n=k/4，其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式，K 是 Catalan 常數，A 是 Glaisher-Kinkelin 常數，並且

G(1/2)=A^(-3/2)pi^(-1/4)e^(1/8)2^(1/24)
(19)
G(3/2)=A^(-3/2)pi^(1/4)e^(1/8)2^(1/24)
(20)
G(5/2)=A^(-3/2)pi^(3/4)e^(1/8)2^(-23/24),
(21)

(OEIS A087014, A087016, 和 A087017) 對於 n=k/2，其中 zeta^'(-1) 是 黎曼 zeta 函式在 -1 處求導的值。一般情況下，對於奇數 n=2k+1,

G(k-1/2)=c_k(pi^((2k-3)/4)e^(1/8)2^(1/24))/(2^((k-1)(k-2)/2)A^(3/2)),
(22)

其中

c_k=product_(i=1)^(k-2)(2^iGamma(1/2+i))/(sqrt(pi))
(23)

對於 k>1，其中前幾項是 1, 1, 1, 3, 45, 4725, 4465125, ... (OEIS A057863)。

Erdélyi等人 (1981, p. 20) 定義的另一個 G-函式為

G(z)=psi_0(1/2+hz)-psi_0(1/2z),
(24)

其中 psi_0(z) 是 雙伽瑪函式。一對不相關的函式表示為 g_n 和 G_n，被稱為 Ramanujan g- 和 G-函式。

另請參閱

尤拉-馬歇羅尼常數, G-函式, Glaisher-Kinkelin 常數, 超階乘, K-函式, Meijer G-函式, Ramanujan g- 和 G-函式, 超階乘

使用 探索

參考文獻

Adamchik, V. "關於 Barnes 函式。" 2001 年國際符號和代數計算研討會論文集（2001 年 7 月 22-25 日，加拿大倫敦）。 紐約：Academic Press，pp. 15-20, 2001a.Adamchik, V. "Barnes 函式的符號和數值計算。" 在 第七屆計算機代數應用國際會議電子論文集。美國新墨西哥州阿爾伯克基技術職業學院。2001 年 5 月 31 日至 6 月 3 日 (Ed. M. Wester). 2001b. http://math.unm.edu/ACA/2001/Proceedings/SymNum/Adamchik_paper.pdf.Barnes, E. W. "G-函式的理論。" Quart. J. Pure Appl. Math. 31, 264-314, 1900.Dyson, F. J. "Fredholm 行列式和逆散射問題。" Commun. Math. Phys. 47, 171-183, 1976.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. 高等超越函式，第 1 卷。 紐約：Krieger, 1981.Glaisher, J. W. L. "關於數值連乘積。" Messenger Math. 6, 71-76, 1877.Glaisher, J. W. L. "關於乘積 1^12^23^3...n^n。" Messenger Math. 7, 43-47, 1878.Glaisher, J. W. L. "關於某些數值乘積。" Messenger Math. 23, 145-175, 1893.Glaisher, J. W. L. "關於公式 1^12^23^3...n^n 中出現的常數。" Messenger Math. 24, 1-16, 1894.Kinkelin, H. "關於與伽瑪函式相關的超越函式及其在積分計算中的應用。" J. reine angew. Math. 57, 122-158, 1860.Lenard, A. "關於大型 Toeplitz 矩陣的一些評論。" Pacific J. Math. 42, 137-145, 1972.McCoy, B. 和 Wu, T. T. 二維伊辛模型。 馬薩諸塞州劍橋：Harvard University Press，p. 264 和附錄 B，1973.Mitra, S. 和 Nijenhuis, B. "稠密 O(1) 環模型在圓柱體上相關性的精確猜想表示式。" JSTAT, P10006, 2004.Sloane, N. J. A. 序列 A000178/M2049, A057863, A087013, A087014, A087015, A087016, 和 A087017，在 "整數序列線上百科全書" 中。Sloane, N. J. A. 和 Plouffe, S. 整數序列百科全書。 聖地亞哥：Academic Press, 1995.Voros, A. "譜函式，特殊函式和 Selberg Zeta 函式。" Commun. Math. Phys. 110, 439-465, 1987.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版。 英國劍橋：Cambridge University Press，p. 264, 1990.Widom, H. "圓弧的強 Szegö 極限定理。" Indiana Univ. Math. J. 21, 277-283, 1971.Widom, H. "具有奇異生成函式的 Toeplitz 行列式。" Amer. J. Math. 95, 333-383, 1973.

在 上引用

Barnes G-函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Barnes G-函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BarnesG-Function.html

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