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梅耶G函式

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梅耶 G-函式是一種非常通用的函式，在許多常見情況下可以簡化為更簡單的特殊函式。梅耶 G-函式的定義為

G_(p,q)^(m,n)(x|a_1,...,a_p; b_1,...,b_q)=1/(2pii)int_(gamma_L)(product_(j=1)^(m)Gamma(b_j-s)product_(j=1)^(n)Gamma(1-a_j+s))/(product_(j=n+1)^(p)Gamma(a_j-s)product_(j=m+1)^(q)Gamma(1-b_j+s))x^sds,
(1)

其中 Gamma(s) 是 伽瑪函式 (Erdélyi et al. 1981, p. 1068; Gradshteyn and Ryzhik 2000)。Prudnikov et al. (1990, p. 793) 使用了另一種但等價的形式，

G_(p,q)^(m,n)(x|a_1,...,a_p; b_1,...,b_q)=1/(2pii)int_(gamma_L)(product_(j=1)^(m)Gamma(b_j+s)product_(j=1)^(n)Gamma(1-a_j-s))/(product_(j=n+1)^(p)Gamma(a_j+s)product_(j=m+1)^(q)Gamma(1-b_j-s))x^(-s)ds,
(2)

這種形式與透過逆 梅林變換 定義此函式的方式更加一致。

梅耶 G-函式在 Wolfram 語言中實現為MeijerG[{{a1, ..., an}, {a(n+1), ..., ap}}, {{b1, ..., bm}, {b(m+1), ..., bq}}, z]。 函式的廣義形式定義為

G_(p,q)^(m,n)(x,r|a_1,...,a_p; b_1,...,b_q) =1/(2pii)int_(gamma_L)(product_(j=1)^(m)Gamma(b_j+s)product_(j=1)^(n)Gamma(1-a_j-s))/(product_(j=n+1)^(p)Gamma(a_j+s)product_(j=m+1)^(q)Gamma(1-b_j-s))x^(-s/r)ds,
(3)

在 Wolfram 語言中實現為MeijerG[{{a1, ..., an}, {a(n+1), ..., ap}}, {{b1, ..., bm}, {b(m+1), ..., bq}}, z, r]。

MeijerGContourPlane
MeijerGContour

在 (2) 和 (3) 中，輪廓線 gamma_L 位於 Gamma(1-a_i-s) 的極點和 Gamma(b_i+s) 的極點之間。例如，G_(1,2)^(2,1)(2z|1/2; 3,-3) 的輪廓線如上圖所示，在複平面中以及疊加在函式本身上（M. Trott）。

Prudnikov et al. (1990) 包含了近 200 頁的關於梅耶 G-函式的公式列表。

特殊情況包括

G_(22)^(12)(z|1,1; 1,0)=ln(z+1)
(4)
G_(22)^(12)(z|1,1; 1,1)=z/(z+1)
(5)
G_(02)^(10)(1/2z|-; 0,1/2)=(cos(sqrt(2z)))/(sqrt(pi))
(6)
G_(10)^(01)(z|1-a; -)=e^(-1/z)z^(-a).
(7)

2 引數形式的特殊情況是

G_(02)^(10)(1/2z,1/2|-; 0,1/2)=(cosz)/(sqrt(pi)).
(8)

參見

巴恩斯 G-函式, 福克斯 H-函式, G-變換, 坎珀·德·費裡埃函式, MacRobert's E-函式, 拉馬努金 g- 和 G-函式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/MeijerG/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/MeijerG1/

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參考文獻

Adamchik, V. "透過 G-函式恆等式評估貝塞爾函式的積分。" J. Comput. Appl. Math. 64, 283-290, 1995.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. "G-函式的定義" 及後續章節。§5.3-5.6 在 高等超越函式，卷 1。 紐約：Krieger，pp. 206-222, 1981.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. "梅耶和 MacRobert 函式 (G 和 E)" 和 "梅耶 G-函式。" §7.8 和 9.3 在 積分表、級數表和乘積表，第 6 版。 聖地亞哥，加利福尼亞州：Academic Press，pp. 843-850 和 1022-1025, 2000.Luke, Y. L. 特殊函式及其近似，共 2 卷。 紐約：Academic Press，1969.Mathai, A. M. 統計和物理科學廣義特殊函式手冊。 紐約：牛津大學出版社，1993.Meijer, C. S. "函式 G_(p,q)^(m,n)(z) 的乘法定理。" Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 44, 1062-1070, 1941.Meijer, C. S. "關於 G-函式。 II." Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 49, 344-456, 1946.Meijer, C. S. "關於 G-函式。 III." Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 49, 457-469, 1946.Meijer, C. S. "關於 G-函式。 IV." Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 49, 632-641, 1946.Meijer, C. S. "關於 G-函式。 V." Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 49, 765-772, 1946.Meijer, C. S. "關於 G-函式。 VI." Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 49, 936-943, 1946.Meijer, C. S. "關於 G-函式。 VII." Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 49, 1063-1072, 1946.Meijer, C. S. "關於 G-函式。 VIII." Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 49, 1165-1175, 1946.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; 和 Marichev, O. I. "積分評估和梅林變換。" Itogi Nauki i Tekhniki, Seriya Matemat. Analiz 27, 3-146, 1989.Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; 和 Brychkov, Yu. A. "梅耶 G-函式 G_(pq)^(mn)(z|(a_p); (b_p))。" §8.2 在 積分與級數，卷 3：更多特殊函式。 紐瓦克，新澤西州：Gordon and Breach，pp. 617-626, 1990.

在 中被引用

梅耶G函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "梅耶G函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MeijerG-Function.html

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