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Fox H 函式

Fox H-函式是一個非常通用的函式，定義為

H(z)=H_(p,q)^(m,n)[z|(a_1,alpha_1),...,(a_p,alpha_p); (b_1,beta_1),...,(b_p,beta_p)] =1/(2pii)int_C(product_(j=1)^(m)Gamma(b_j-beta_is)product_(j=1)^(n)Gamma(1-a_j+alpha_js))/(product_(j=n+1)^(p)Gamma(a_j+alpha_js)product_(j=m+1)^(q)Gamma(1-b_j+beta_js))z^sds,

其中 0<=m<=q, 0<=n<=p, alpha_j,beta_j>0, 並且 a_j,b_j 是複數，使得 Gamma(b_j-beta_js) 的極點 對於 j=1, 2, ..., m 不與 Gamma(1-a_j+alpha_js) 的任何極點重合，對於 j=1, 2, ..., n (Prudnikov et al. 1990, p. 626)。此外，C 是複數s平面中的一條輪廓線，從 omega-iinfty 到 omega+iinfty，使得 (b_j+k)/beta_j 和 (a_j-1-k)/alpha_j 分別位於 C 的右側和左側。

Fox H-函式在 Wolfram 語言中實現為FoxH.

A. Kilbas 推匯出了 H-函式的漸近展開的完整描述。

Fox H-函式的特殊情況包括

H_(2P+1)^1(z^i,c|(0,i); (1-a_j,i)_(P+1),(b_j-i)_P)=(_(p+1)F_P((a)_(P+1);(b)_P;(-1)^Pz))/(isgn(I[z])product_(j=1)^(P+1)Gamma(1-a_j)product_(j=1)^(P)Gamma(b)_j),

對於 a_1, ..., a_(P+1), b_1, ..., b_P 複數，使得 sum_(j=1)^(P+1)R[a_j]<sum_(j=1)^(P)Re[b_j], |z|=1, sgn(c)=sgn(I[z]), 並且 _pF_q(z) 是一個廣義超幾何函式 (Al-Musallam et al. 2001b)。

另請參閱

Kampe de Feriet 函式, MacRobert's E-函式, Meijer G-函式

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參考文獻

Al-Musallam, F. A. and Tuan, V. K. "H-Function with Complex Parameters I: Existence." Int. J. Math. Math. Sci. 25, 571-586, 2001a.Al-Musallam, F. A. and Tuan, V. K. "H-Function with Complex Parameters II: Evaluation." Int. J. Math. Math. Sci. 25, 727-743, 2001b.Buschman, R. G. "H-Functions of Two Variables, I." Indian J. Math. 20, 139-153, 1978.Buschman, R. G. "Analytic Domains for Multivariable H-Functions." Pure Appl. Math. Sci. 16, 23-27, 1982.Carter, B. D. and Springer, M. D. "The Distribution of Products, Quotients, and Powers of Independent H-Functions." SIAM J. Appl. Math. 33, 542-558, 1977.Fox, C. "The G and H-Functions as Symmetrical Fourier Kernels." Trans. Amer. Math. Soc. 98, 395-429, 1961.Hai, N.; Marichev, O. I.; and Buschman, R. G. "Theory of the General H-Function of Two Variables." Rocky Mtn. J. Math. 22, 1317-1327, 1992.Mathai, A. M. and Saxena, R. K. The H-Function with Applications in Statistics and Other Disciplines.0470263806 New Delhi, India: Wiley, 1978.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. "Evaluation of Integrals and the Mellin Transform." Itogi Nauki i Tekhniki, Seriya Matemat. Analiz 27, 3-146, 1989.Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Fox H-Function H_(pq)^(mn)[z|[a_p,A_p]; [b_p,B_p]]." §8.3 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 626-629, 1990.

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Yakubovich, S. B. 和 Luchko, Y. F. The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions. 阿姆斯特丹，荷蘭：Kluwer，1994 年。

在 中被引用

Fox H 函式

如此引用

Weisstein, Eric W. “Fox H 函式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/FoxH-Function.html

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