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伯努利數

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伯努利數 B_n 是一個有符號的有理數序列，可以透過 指數生成函式 定義

x/(e^x-1)=sum_(n=0)^infty(B_nx^n)/(n!).
(1)

這些數出現在三角函式的級數展開中，並且在 數論 和 分析 中極其重要。

實際上，伯努利數有兩種定義。為了區分它們，現代用法（美國國家標準與技術研究院慣例）中定義的伯努利數寫作 B_n，而在較舊的文獻中遇到的伯努利數寫作 B_n^*（Gradshteyn 和 Ryzhik 2000）。在每種情況下，伯努利數都是 伯努利多項式 B_n(x) 或 B_n^*(x) 的特殊情況，其中 B_n=B_n(0) 和 B_n^*=B_n^*(0)。

伯努利數和多項式不應與 貝爾數 和 貝爾多項式 混淆，後者也通常表示為 B_n 和 B_n(x)。

現代定義定義的伯努利數表示為 B_n，有時稱為“偶數索引”伯努利數。這些是由 Wolfram 語言 函式返回的伯努利數，例如BernoulliB[n]。

伯努利數 B_n 可以透過 輪廓積分 定義

B_n=(n!)/(2pii)∮z/(e^z-1)(dz)/(z^(n+1)),
(2)

其中輪廓包含原點，半徑小於 2pi（以避免在 +/-2pii 處的極點），並且沿逆時針方向遍歷（Arfken 1985，第 413 頁）。

前幾個伯努利數 B_n 是

B_0=1
(3)
B_1=-1/2
(4)
B_2=1/6
(5)
B_4=-1/(30)
(6)
B_6=1/(42)
(7)
B_8=-1/(30)
(8)
B_(10)=5/(66)
(9)
B_(12)=-(691)/(2730)
(10)
B_(14)=7/6
(11)
B_(16)=-(3617)/(510)
(12)
B_(18)=(43867)/(798)
(13)
B_(20)=-(174611)/(330)
(14)
B_(22)=(854513)/(138)
(15)

（OEIS A000367 和 A002445），其中

B_(2n+1)=0
(16)

對於 n=1, 2, ....

BernoulliNumberDigits

B_n 的分子中的位數，對於 n=2, 4, ... 分別是 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 4, 5, 6, 6, 9, 7, 11, ... (OEIS A068399)，而相應分母中的位數是 1, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 1, 3, 5, 3, ... (OEIS A092904)。兩者都在上面繪製。

B_(2n) 的分母由下式給出

denom(B_(2n))=product_((p-1)|(2n))p,
(17)

其中乘積取遍素數 p（Graham et al. 1994 中的例 6.54），這個結果與 von Staudt-Clausen 定理 相關。

B_(10^n) 的分子中的位數，對於 n=0, 1, ... 分別是 1, 1, 83, 1779, 27691, 376772, 4767554, 57675292, 676752609, 7767525702, ... (OEIS A103233)，而相應的分母中的位數是 1, 2, 5, 9, 13, 16, 24, ... (OEIS A114471)。B_(10^n) 的分母的值，對於 n=0, 1, ... 分別是 66, 33330, 342999030, 2338224387510, 9355235774427510, ... (OEIS A139822)。

denom(B_n)=n 僅對於 1806 成立，但對於其他 n 值不成立（Kellner 2005）。

分母的執行最大值是 1, 6, 30, 42, 66, 2730, 14322, 1919190, ... (OEIS A100194)，它們出現在 n=2, 4, 6, 8, 12, 14, 32, 38, ... (OEIS A100195)。

分母為 6 的偶數 B_n 的比例是嚴格正的（Jensen 1915），對於其他分母也存在類似的結果（Erdős 和 Wagstaff 1980，Moreno 和 Wagstaff 2005）。

有趣的是，伯努利數的分母等於 6 的比例高於任何其他值（Sunseri 1980），並且分母為 6 的偶數伯努利數的比例接近 1/6（Erdős 和 Wagstaff 1980）。S. Plouffe（私人通訊，2 月 12 日，2007 年）計算了分母為 6 的偶數伯努利數的比例，直到 B_(5285000)，發現它是 0.1526... 並且仍然緩慢下降。

BernoulliDenominatorHistogram

分母為 6 的小於或等於 1, 10, 10^2, ... 的伯努利數的數量分別是 0, 1, 10, 87, 834, ... (OEIS A114648)，這接近 1/12=0.08333... 的十進位制展開式。上面的 直方圖 顯示了對於索引高達 10^4 的給定分母的分數。按頻率排序，前幾個分母似乎是 6, 30, 42, 66, 510, ... (OEIS A114649)。

唯一已知的分子為素數的伯努利數 B_n 出現在 n=10, 12, 14, 16, 18, 36 和 42 (OEIS A092132) 時，對應於 5, -691, 7, -3617, 43867, -26315271553053477373, 和 1520097643918070802691 (OEIS A092133)，對於 n<=101000 沒有其他素數 (E. W. Weisstein，2 月 27 日，2007 年)。Wagstaff 維護了一個伯努利數分子因式分解的頁面。

下表總結了 nth 伯努利數 B_n 的記錄計算，包括給出分子中的位數。

n分子中的位數分母日期參考文獻
20000081373414977732474858443510Fee 和 Plouffe
50000022332735847115911374938025102002Plouffe (2002)
1×10^6476755493612325741112757781851012 月 16 日，2002 年Kellner
2×10^61013714796014801830165249708840202249102 月 10 日，2003 年Kellner
5×10^62733250793612325741112757781851010 月 8 日，2005 年O. Pavlyk（私人通訊）
1×10^75767529296014801830165249708840202249102008 年 2 月O. Pavlyk (2008)
1×10^86767526093948153327060465420496684288414970018702008 年 10 月D. Harvey (2008)

B_(2k) (mod 1) 的 分母 由 von Staudt-Clausen 定理 給出，該定理也暗示 B_(2k) 的 分母 是 無平方因子 的（Hardy 和 Wright 1979）。另一個有趣的性質是 B_n 的 小數部分 的 十進位制展開 週期整除 n，並且在該週期之前有一個數字（Conway 1996）。特別是，frac(B_n) 對於 n=2, 4, ... 的週期分別是 1, 1, 6, 1, 2, 6, 1, 16, 18, 2, 22, ... (OEIS A112828)，並且 n/frac(B_n) 的相應值是 2, 4, 1, 8, 5, 2, 14, 1, 1, 10, ... (OEIS A112829)。

考慮生成函式

F(x,t)=sum_(n=0)^infty(B_n(x)t^n)/(n!),
(18)

對於 |t|<2pi 和所有 x 一致收斂（Castellanos 1988）。取偏導數得到

(partialF(x,t))/(partialx)=sum_(n=0)^(infty)(B_(n-1)(x)t^n)/((n-1)!)
(19)
=tsum_(n=0)^(infty)(B_n(x)t^n)/(n!)
(20)
=tF(x,t).
(21)

可以使用 變數分離 找到此微分方程的解，如下所示

F(x,t)=T(t)e^(xt),
(22)

因此積分得到

int_0^1F(x,t)dx=T(t)int_0^1e^(xt)dx
(23)
=T(t)(e^t-1)/t.
(24)

但是顯式地積分 (24) 得到

int_0^1F(x,t)dx=sum_(n=0)^(infty)(t^n)/(n!)int_0^1B_n(x)dx
(25)
=1+sum_(n=1)^(infty)(t^n)/(n!)int_0^1B_n(x)dx
(26)
=1,
(27)

所以

T(t)(e^t-1)/t=1.
(28)

求解 T(t) 並將其代回 (◇) 中，然後得到

(te^(xt))/(e^t-1)=sum_(n=0)^infty(B_n(x)t^n)/(n!)
(29)

（Castellanos 1988）。設定 x=0 並在兩側加上 t/2，然後得到

1/2tcoth(1/2t)=sum_(n=0)^infty(B_(2n)t^(2n))/((2n)!).
(30)

令 t=2ix，然後得到

xcotx=sum_(n=0)^infty(-1)^nB_(2n)((2x)^(2n))/((2n)!)
(31)

對於 x in [-pi,pi]。

伯努利數也可以從下式計算

B_n=lim_(x->0)(d^n)/(dx^n)x/(e^x-1).
(32)

伯努利數由雙重求和給出

B_n=sum_(k=0)^n1/(k+1)sum_(r=0)^k(-1)^r(k; r)r^n,
(33)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數。它們也滿足求和

sum_(k=0)^(n-1)(n; k)B_k=0,
(34)

可以求解 B_(n-1) 以給出用於計算 B_n 的 遞推關係。透過在 (34) 的兩邊都加上 B_n，它可以簡單地寫成

(B+1)^([n])=B^([n]),
(35)

其中 符號 B^([k]) 表示所討論的量被提升到適當的 冪 k，並且所有 形式為 B^m 的項都替換為相應的伯努利數 B_m。

以及有趣的求和

sum_(k=0)^(n)(6n+3; 6k)B_(6k)=2n+1
(36)
sum_(k=0)^(n)(6n+5; 6k+2)B_(6k+2)=1/3(6n+5)
(37)
sum_(k=1)^(n)(6n+1; 6k-2)B_(6k-2)=-1/6(6n+1)
(38)

（Lehmer 1935, Carlitz 1968, Štofka 2014），以及漂亮的求和恆等式

sum_(i=0)^n((1-2^(1-i))(1-2^(i-n+1))B_(n-i)B_i)/((n-i)!i!)=((1-n)B_n)/(n!)
(39)

（Gosper）。

偶數伯努利數的 漸近級數 是

B_(2n)∼(-1)^(n-1)4sqrt(pin)(n/(pie))^(2n).
(40)

伯努利數出現在 形式為 sum_(k=1)^(n)k^p 的表示式中，其中 p=1, 2, .... 伯努利數也出現在涉及 tanx, cotx, cscx, ln|sinx|, ln|cosx|, ln|tanx|, tanhx, cothx, 和 cschx 的函式的級數展開中。

對於 偶數 階存在解析解，

B_(2n)=((-1)^(n-1)2(2n)!)/((2pi)^(2n))sum_(p=1)^(infty)p^(-2n)
(41)
=((-1)^(n-1)2(2n)!)/((2pi)^(2n))zeta(2n)
(42)

對於 n=1, 2, ..., 其中 zeta(2n) 是 黎曼 zeta 函式。與 黎曼 zeta 函式 的另一個密切聯絡由恆等式提供

B_n=(-1)^(n+1)nzeta(1-n).
(43)

用 尤拉多項式 表示的積分由下式給出

B_n=(n(n-1))/(4(2^n-1))int_0^1E_(n-2)(x)dx,
(44)

其中 E_n(x) 是一個 尤拉多項式（J. Crepps，私人通訊，2002 年 4 月）。

伯努利首次使用伯努利數來計算 sum_(k=1)^(n)k^p。他使用了 有形數三角形 的性質

sum_(i=0)^na_(ij)=((n+1)a_(nj))/(j+1),
(45)

以及他歸納匯出的 a_(nj) 的形式來計算總和，直到 n=10（Boyer 1968，第 85 頁）。對於 p in Z>0，總和由下式給出

sum_(k=1)^nk^p=((B+n+1)^([p+1])-B^([p+1]))/(p+1),
(46)

其中，符號 B^([k]) 表示所討論的量被提升到適當的 冪 k，並且所有 形式為 B^m 的項都替換為相應的伯努利數 B_m。請注意，通常（例如，Carlitz 1965）簡單地寫成 (B+a)^n，並理解為展開後，B^k 被 B_k 替換。

用 冪 的和顯式地寫出，

sum_(k=1)^(n)k^p=n^p+1/(p+1)sum_(k=0)^(p)(p+1; k)B_kn^(p-k+1)
(47)
=1/(p+1)sum_(k=1)^(p+1)(p+1; k)(-1)^(p-k+1)B_(p-k+1)n^k
(48)
=sum_(k=1)^(p+1)b_(pk)n^k,
(49)

其中

b_(pk)=((-1)^(p-k+1)B_(p-k+1))/(p+1)(p+1; k).
(50)

取 n=1 給出了伯努利的觀察，即項 b_(pk) 的 係數 總和為 1，

sum_(k=1)^(p+1)b_(pk)=1.
(51)

拉馬努金給出了許多涉及伯努利數的有趣的無窮和恆等式（Berndt 1994）。

BernoulliNumberPlouffeInequality

Plouffe（私人通訊，2004 年 6 月 21 日）推測，B_(4n+2) 形式的正伯努利數的 小數部分 滿足 frac(B_(4n+2))<1/6 或 frac(B_(4n+2))>2/3。但是，有很多反例，前幾個反例出現在 n=2072070（也是 Plouffe 於 2004 年 6 月 21 日發現），6216210, 8128890, 10360350, 13548150, ... (OEIS A155125)。有趣的是，所有這些數字在其素數因式分解中都有大量的因子，如下表所示。這些數字的索引具有 frac(B_n) 增量最小值的數字的索引由 2072070, 6216210, 10360350, 18648630, 31081050, 35225190, 93243150, ... (OEIS A155126) 給出，它們似乎傾向於出現在原始列表中為 2 的冪的位置（1, 2, 4, 8, 16, 18, 64, ...）。

nn 的因式分解frac(B_n)
20720702·3^2·5·7·11·13·230.6664435068
62162102^1·3^3·5^1·7^1·11^1·13^1·23^10.6588649656
81288902^1·3^3·5^1·7^1·11^1·17^1·23^10.6648723198
103603502^1·3^2·5^2·7^1·11^1·13^1·23^10.6564013890

伯努利數的較舊的定義，不再廣泛使用，使用方程定義 B_n^*

x/(e^x-1)+x/2-1=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)B_n^*x^(2n))/((2n)!)
(52)
=(B_1^*x^2)/(2!)-(B_2^*x^4)/(4!)+(B_3^*x^6)/(6!)+...
(53)

或

1-x/2cot(x/2)=sum_(n=1)^(infty)(B_n^*x^(2n))/((2n)!)
(54)
=(B_1^*x^2)/(2!)+(B_2^*x^4)/(4!)+(B_3^*x^6)/(6!)+...
(55)

對於 |x|<2pi（Whittaker 和 Watson 1990，第 125 頁）。B_n^* 伯努利數可以從積分計算

B_n^*=4nint_0^infty(t^(2n-1)dt)/(e^(2pit)-1),
(56)

並從解析上從下式計算

B_n^*=(2(2n)!)/((2pi)^(2n))sum_(p=1)^inftyp^(-2n)=(2(2n)!)/((2pi)^(2n))zeta(2n)
(57)

對於 n=1, 2, ..., 其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式。

伯努利數 B_n 是舊式伯努利數 B_n^* 的超集，因為

B_n={1 for n=0; -1/2 for n=1; (-1)^((n/2)-1)B_(n/2)^* for n even; 0 for n odd.
(58)

前幾個伯努利數 B_n^* 是

B_1^*=1/6
(59)
B_2^*=1/(30)
(60)
B_3^*=1/(42)
(61)
B_4^*=1/(30)
(62)
B_5^*=5/(66)
(63)
B_6^*=(691)/(2730)
(64)
B_7^*=7/6
(65)
B_8^*=(3617)/(510)
(66)
B_9^*=(43867)/(798)
(67)
B_(10)^*=(174611)/(330)
(68)
B_(11)^*=(854513)/(138).
(69)

另請參閱

Agoh 猜想, 第二類伯努利數, 伯努利多項式, 德拜函式, 尤拉-麥克勞林積分公式, 尤拉數, 有形數三角形, 格諾奇數, 整數序列素數, 非正則素數, 修正伯努利數, 黎曼 Zeta 函式, von Staudt-Clausen 定理 在 課堂中探索此主題

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/BernoulliB/

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參考文獻

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伯努利數

請引用為

Weisstein, Eric W. "伯努利數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BernoulliNumber.html

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