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尤拉數

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尤拉數，也稱為正割數或 鋸齒數，定義為 |x|<pi/2 透過

sechx-1=-(E_1^*x^2)/(2!)+(E_2^*x^4)/(4!)-(E_3^*x^6)/(6!)+...
(1)
secx-1=(E_1^*x^2)/(2!)+(E_2^*x^4)/(4!)+(E_3^*x^6)/(6!)+...,
(2)

其中 sech(z) 是 雙曲正割，sec 是 正割。尤拉數給出了 奇數 交錯排列 的數量，並且與 Genocchi 數 有關。 自然對數 的底 e 有時也被稱為尤拉數。

另一種尤拉數，有限復形 K 的尤拉數，定義為

chi(K)=sum(-1)^prank(C_p(K)).
(3)

這個尤拉數是一個拓撲不變數。

更令人困惑的是，尤拉示性數 有時也稱為“尤拉數”，而由 素數生成多項式 n^2-n+41 生成的數有時也稱為“尤拉數”（Flannery 和 Flannery 2000, p. 47）。 在這項工作中，由該多項式生成的素數被稱為 尤拉素數，而素數尤拉數被稱為 尤拉數素數。

（正割）尤拉數的一些值是

E_1^*=1
(4)
E_2^*=5
(5)
E_3^*=61
(6)
E_4^*=1385
(7)
E_5^*=50521
(8)
E_6^*=2702765
(9)
E_7^*=199360981
(10)
E_8^*=19391512145
(11)
E_9^*=2404879675441
(12)
E_(10)^*=370371188237525
(13)
E_(11)^*=69348874393137901
(14)
E_(12)^*=15514534163557086905
(15)

（OEIS A000364）。

稍微不同的約定定義為

E_(2n)=(-1)^nE_n^*
(16)
E_(2n+1)=0
(17)

經常使用。例如，這些是由 Wolfram 語言 函式計算的尤拉數EulerE[n]。這個定義有一個特別簡單的級數定義

sechx=sum_(k=0)^infty(E_kx^k)/(k!)
(18)

並且等價於

E_n=2^nE_n(1/2),
(19)

其中 E_n(x) 是一個 尤拉多項式。

E_n 中十進位制數字的位數，對於 n=0, 2, 4, ... 是 1, 1, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... (OEIS A047893)。 E_(10^n) 中十進位制數字的位數，對於 n=0, 1, ... 是 1, 5, 139, 2372, 33699, ... (OEIS A103235)。

尤拉數具有 漸近級數

E_(2n)∼(-1)^n8sqrt(n/pi)((4n)/(pie))^(2n).
(20)

更有效的漸近級數由下式給出

E_(2n)∼(-1)^n8sqrt(n/pi)((4n)/(pie)(480n^2+9)/(480n^2-1))^(2n)
(21)

（P. Luschny，私人通訊，2007）。

對於偶數 n 展開 (E-i)^n 得到恆等式

(E-i)^n={0 for n even; -iT_((n+1)/2) for n odd.
(22)

其中係數 E^n 被解釋為 |E_n| (Ely 1882; Fort 1948; Trott 2004, p. 69)，而 T_n 是一個 正切數。

Stern (1875) 表明

E_k=E_l (mod 2^n)
(23)

當且僅當 k=l (mod 2^n)。 Sylvester 在 1861 年曾宣告過這個結果，但沒有證明。

Shanks (1968) 透過以下方式定義了尤拉數的推廣

c_(a,n)=((2n)!L_a(2n+1))/(sqrt(a))((2a)/pi)^(2n+1).
(24)

在這裡，

c_(1,n)=1/2(-1)^nE_(2n),
(25)

並且 c_(2,n) 是 (2n)! 乘以 cosx/cos(2x) 的級數展開式中 x^(2n) 的係數。類似的表示式適用於 c_(3,n)，但奇怪的是不適用於 c_(a,n)，其中 a>=4。下表給出了 c_(a,n) 對於 n=0, 1, .... 的前幾個值。

aOEISc_(a,n)
1A0003641, 1, 5, 61, ...
2A0002811, 3, 57, 2763, ...
3A0004361, 8, 352, 38528, ...
4A0004901, 16, 1280, 249856, ...
5A0001872, 30, 3522, 1066590, ...
6A0001922, 46, 7970, 3487246, ...
7A0640681, 64, 15872, 9493504, ...
8A0640692, 96, 29184, 22634496, ...
9A0640702, 126, 49410, 48649086, ...
10A0640712, 158, 79042, 96448478, ...

另請參閱

伯努利數, 尤拉示性數, 尤拉數素數, 尤拉素數, 尤拉數 (Eulerian Number), 尤拉多項式, 尤拉鋸齒數, Genocchi 數, 整數序列素數, Lefschetz 數, 素數生成多項式, 正切數

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/EulerE/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "伯努利和尤拉多項式以及尤拉-麥克勞林公式。" §23.1 在 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版印刷。 紐約：Dover，pp. 804-806, 1972。Caldwell, C. "前 20 名：尤拉不規則數。" http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=25。Conway, J. H. 和 Guy, R. K. 在 數字之書。 紐約：Springer-Verlag，pp. 110-111, 1996。Ely, G. S. "關於伯努利數和尤拉數的一些註釋。" Amer. J. Math. 5, 337-341, 1882。Fort, T. 實域中的有限差分和差分方程。 牛津，英格蘭：Clarendon Press，1948。Flannery, S. 和 Flannery, D. 程式碼之內：數學之旅。 倫敦：Profile Books，p. 47, 2000。Guy, R. K. "尤拉數。" §B45 在 數論中未解決的問題，第 2 版。 紐約：Springer-Verlag，p. 101, 1994。Hauss, M. 廣義 Stirling 數、伯努利數和尤拉數，其應用和 zeta 函式的快速收斂級數。 亞琛，德國：Verlag Shaker，1995。Knuth, D. E. 和 Buckholtz, T. J. "切線數、尤拉數和伯努利數的計算。" Math. Comput. 21, 663-688, 1967。Munkres, J. R. 代數拓撲要素。 紐約：Perseus Books Pub.,p. 124, 1993。Shanks, D. "廣義尤拉數和類數。" Math. Comput. 21, 689-694, 1967。Shanks, D. "廣義尤拉數和類數的勘誤。" Math. Comput. 22, 699, 1968。Sloane, N. J. A. 序列 A000364/M4019, A014547, A047893, A092823, A103234, 和 A103235 在 "整數序列線上百科全書" 中。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "尤拉數，E_n。" 第 5 章 在 函式圖集。 華盛頓特區：Hemisphere，pp. 39-42, 1987。Stern, M. A. "關於尤拉數的理論。" J. reine angew. Math. 79, 67-98, 1875。Trott, M. Mathematica 程式設計指南。 紐約：Springer-Verlag，2004。 http://www.mathematicaguidebooks.org/。Young, P. T. "伯努利數、尤拉數和斯特林數的同餘式。" J. Number Th. 78, 204-227, 1999。

在 中引用

尤拉數

引用為

Weisstein, Eric W. "尤拉數。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/EulerNumber.html

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