主題
Search

正切數

下載 Mathematica 筆記本下載 Wolfram 筆記本

正切數，也稱為 zag 數，由下式給出

T_n=(2^(2n)(2^(2n)-1)|B_(2n)|)/(2n),
(1)

其中 B_n 是伯努利數，是可以根據生成函式（為 tanx 的麥克勞林級數給出）或 n=1, 3, 5, 7, ... 個符號上的交錯排列數（其中彼此反轉的排列被視為等價）定義的數。 前幾個 T_n 為 n=1, 2, ... 是 1, 2, 16, 272, 7936, ... (OEIS A000182)。

例如，在 n=1 和 3 個數上的非反轉等價交錯排列分別是 {1} 和 {1,3,2}, {2,1,3}。

正切數具有生成函式

tanx=sum_(k=0)^(infty)((-1)^(k-1)2^(2k)(2^(2k)-1)B_(2k))/((2k)!)x^(2k-1)
(2)
=sum_(k=1)^(infty)(T_k)/((2k-1)!)x^(2k-1)
(3)
=x+1/3x^3+2/(15)x^5+(17)/(315)x^7+....
(4)

Shanks (1967) 將正切數推廣定義為

d_(a,n)=((2n-1)!L_(-a)(2n+1))/(sqrt(a))((2a)/pi)^(2n),
(5)

其中 L_n(s) 是狄利克雷 L 級數，給出特殊情況

d_(1,n)=T_n.
(6)

下表給出了 d_(a,n) 在 n=1, 2, ... 的前幾個值。

aOEISd_(a,n)
1A0001821, 2, 16, 272, 7936, ...
2A0004641, 11, 361, 24611, ...
3A0001912, 46, 3362, 515086, ...
4A0003184, 128, 16384, 4456448, ...
5A0003204, 272, 55744, 23750912, ...
6A0004116, 522, 152166, 93241002, ...
7A0640728, 904, 355688, 296327464, ...
8A0640738, 1408, 739328, 806453248, ...
9A06407412, 2160, 1415232, 1951153920, ...
10A06407514, 3154, 2529614, 4300685074, ...

另請參閱

交錯排列, 狄利克雷 L 級數, Entringer 數, 尤拉曲折數, 正割數, 正切

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. 和 Bailey, D. 實驗數學：21世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Knuth, D. E. 和 Buckholtz, T. J. "正切數、尤拉數和伯努利數的計算。" Math. Comput. 21, 663-688, 1967.Shanks, D. "廣義尤拉數和類數。" Math. Comput. 21, 689-694, 1967.Shanks, D. 對《廣義尤拉數和類數》的勘誤。" Math. Comput. 22, 699, 1968.Sloane, N. J. A. 序列 A000182/M2096，出自“整數序列線上百科全書”。"

在 中被引用

正切數

請引用為

Weisstein, Eric W. “正切數。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/TangentNumber.html

主題分類