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Entringer 數

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(1)

Entringer 數 E(n,k) (OEIS A008281) 是 排列 的數量 {1,2,...,n+1}, 以 k+1 開頭，這些排列在最初下降之後，交替下降然後上升。Entringer 數由下式給出

E(0,0)=1
(2)
E(n,0)=0
(3)

以及 遞推關係

E(n,k)=E(n,k-1)+E(n-1,n-k).
(4)

這些數字的適當排列的 數字三角形 被稱為 Seidel-Entringer-Arnold 三角形。

數字 A(n)=E(n,n) 是 正割數 和 正切數，由 麥克勞林級數 給出

secx+tanx=A_0+A_1x+A_2(x^2)/(2!)+A_3(x^3)/(3!)+A_4(x^4)/(4!)+A_5(x^5)/(5!)+....
(5)

它們有閉合形式

A_n={i^nE_n for n even; -((2i)^(n+1)(2^(n+1)-1)B_(n+1))/(n+1) for n odd,
(6)

. 其中 E_n 是 尤拉數，B_n 是 伯努利數。

另請參閱

交錯排列, Boustrophedon 變換, 尤拉鋸齒數, 排列, 正割數, Seidel-Entringer-Arnold 三角形, 正切數, Zag 數, Zig 數

使用 探索

參考文獻

Bauslaugh, B. and Ruskey, F. "按字典序生成交錯排列。" BIT 80, 17-26, 1990.Entringer, R. C. "尤拉數和伯努利數的組合解釋。" Nieuw Arch. Wisk. 14, 241-246, 1966.Millar, J.; Sloane, N. J. A.; and Young, N. E. "序列上的新運算：Boustrophedon 變換。" J. Combin. Th. Ser. A 76, 44-54, 1996.Poupard, C. "Entringer 數的新列舉意義。" Disc. Math. 38, 265-271, 1982.Ruskey, F. "交錯排列的資訊。" http://www.theory.csc.uvic.ca/~cos/inf/perm/Alternating.html.Sloane, N. J. A. Sequences A000111/M1492 and A008281 in “整數序列線上百科全書。”

在 中被引用

Entringer 數

引用為

Weisstein, Eric W. "Entringer 數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EntringerNumber.html

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